DarkIchigo
DarkIchigo - Erectus - 110 Punti
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Salve,
per calcolare la lunghezza di una curva uso la formula di approssimazione di Cavalieri-Simpson poiché gli integrali sono impossibili da calcolare con le conoscenze attuali. Quasi sempre la formula approssima molto bene, però in questo caso no e vorrei saperne il motivo; inoltre vorrei sapere se c'è qualche altra formula di approssimazione da utilizzare nel caso Cavalieri-Simpson non funzioni.

[math]g(t)= [2cos(t)+cos(2t),2sen(t)+sen(2t)][/math]
[math]t \epsilon [0,2\pi][/math]

[math]g'(t)= [-2sen(t)-2sen(2t),2cos(t)+2cos(2t)][/math]

[math]||g'(t)||= \sqrt{8+8cos(t)} = f(t)[/math]

[math]\int_{0}^{2\pi } f(t)dt= (\pi/3)(4+4\sqrt{0}+4) = 8,37[/math]

Mentre il calcolatore mi dice che deve essere 16...
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Dati un arco di curva
[math]\gamma[/math]
di equazione vettoriale
[math](x,\,y,\,z) = \mathbf{r}(t)[/math]
per
[math]t \in [a,\,b] \subset \mathbb{R}[/math]
e una funzione scalare
[math]f(x,\,y,\,z)[/math]
definita in una re-
gione dello spazio contenente
[math]\gamma[/math]
, per definizione di integrale di linea (di
prima specie):
[math]\int_{\gamma} f\,ds := \int_a^b f(\mathbf{r(t)})|\mathbf{r}'(t)|dt[/math]
. Per calcolare la
lunghezza di
[math]\gamma[/math]
è sufficiente porre
[math]f(x,\,y,\,z) = 1[/math]
, ottenendo:
[math]|\gamma| = \int_a^b |\mathbf{r}'(t)|dt\\[/math]
.

Nel caso in oggetto, data la curva di equazione vettoriale
[math]\mathbf{r}(t) := (2\,\cos(t) + \cos(2t), \; 2\,\sin(t) + \sin(2t))[/math]
,
per
[math]t \in [0,\,2\pi][/math]
, la lunghezza del proprio sostegno
[math]\gamma[/math]
è:
[math]|\gamma| = 2\sqrt{2}\int_0^{2\pi} \sqrt{1 + \cos t}\,dt[/math]
. Dunque, ricordando la
formula di duplicazione del coseno:
[math]\small \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1[/math]
,
segue che
[math]\small 1 + \cos t = 2\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)[/math]
e quindi si ottiene:
[math]|\gamma| = 4\int_0^{2\pi} \left|\cos\left(\frac{t}{2}\right)\right|\,dt = 8\int_0^{\pi} \cos\left(\frac{t}{2}\right)\,dt = 16\\[/math]
.

Come puoi notare, i conti non sono nulla di che preoccuparsi. ;)
DarkIchigo
DarkIchigo - Erectus - 110 Punti
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Beh si, effettivamente l'integrale qui era semplice, non l'ho proprio calcolato perché uso sempre la formula di Cavalieri-Simpson e funziona sempre. Volevo sapere perché in questo caso non funziona...
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Premesso che se stai preparando un esame di analisi matematica credo sia
ragionevole il fatto che si pretenda l'applicazione di tecniche analitiche e
non numeriche (ma questo, in generale, dipende da quanto è consenziente
il vostro docente), utilizzando delle formule di approssimazione, per defini-
zione, si commette sempre e comunque un certo errore. Quello che impor-
ta, comunque, è che tale errore sia "piccolo" ( in base agli ambiti applicativi
si deciderà "quanto piccolo" ).


In particolare, una semplice "estensione" della regola di Simpson è questa:
[math]
\small
\begin{aligned}
\int_{x_0}^{x_{2n}} f(x)\,dx
& \, = \, \frac{x_{2n} - x_0}{6\,n}\{f(x_0) + 4\,[f(x_1) + f(x_3) + \dots + f(x_{2n - 1})] \\
& + 2\,[f(x_2) + f(x_4) + \dots + f(x_{2n - 2})] + f(x_{2n})\} + R_n \; ,
\end{aligned}\\
[/math]

dove l'errore commesso è pari ad
[math]R_n = \frac{(x_{2n} - x_0)^5}{1440\,n^4}\left|f^{(4)}(x^*)\right|[/math]
,
per qualche
[math]x^* \in [x_0,\,x_{2n}]\\[/math]
.

A titolo d'esempio, ci poniamo come obiettivo il calcolo dell'integrale
[math]I := \int_0^{2\pi} \sqrt{8 + 8\,\cos t}\,dt[/math]
con un errore inferiore a
[math]10^0\\[/math]
.
A tale scopo, cominciamo col calcolare
[math]\small \begin{aligned}\underset{0 \le t \le 2\pi}{\max} f^{(4)}(t^*) = \frac{1}{4}\end{aligned}[/math]
(per
[math]\small t^* = 0[/math]
) e quindi imponendo
[math]\small \frac{(2\pi - 0)^5}{1440\,n^4}\left|\frac{1}{4}\right|< 10^0 \; \Rightarrow \; n > 1.14188[/math]
,
si ottiene il "numeretto" tanto desiderato:
[math]n = 2\\[/math]
.
Non rimane che applicare la formuletta di cui sopra con
[math]\small n = 2[/math]
:
[math]\small I \approx \frac{\pi}{6}\left\{f(0) + 4\left[f\left(\frac{\pi}{2}\right) + f\left(\frac{3}{2}\pi\right)\right] + 2\,f(\pi) + f(2\pi)\right\} \approx 16.0365\\[/math]
.

In conclusione, direi che alla domanda "perché non funziona"
si sia risposto in maniera più che esauriente, no? :)
DarkIchigo
DarkIchigo - Erectus - 110 Punti
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Ah ecco allora il problema... io usavo sempre questa:

[math](\frac{b-a}{6})(f(a) + 4f(\frac{a+b}{2}) + f(b))[/math]

Grazie mille per la delucidazione.
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