Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
Salva

Come si calcola la maggiorazione dell'errore di una serie?

Aggiunto 1 giorni più tardi:

La teoria mi è abbastanza chiara. Il libro sembra farmi capire che invece devo TRASCURARE i primi n termini e CALCOLARE LA SOMMA DELLA SERIE RESTO. Posto magari una serie, così mi fa vedere come calcola la magg. dell'errore

[math]\sum_{n=1}^\infty \frac{(2n+1)!}{2^{4n-3}[(n-1)!]^2}[/math]
Sono già riuscito a dimostrare che la serie converge. Ma come calcolare la magg. dell'errore?
ciampax
ciampax - Tutor - 29294 Punti
Salva

Di quale tipo di serie stiamo parlando. Comunque, in linea di massima, si ragiona così: supponi di voler calcolare il valore di una certa funzione, data come serie di funzioni, nella forma

[math]f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x)[/math]

(non mi metto a fare discorsi su convergenza ed altro in questa sede). Ora, quando fai i calcoli puoi pensare di approssimare tutto ai primi N termini e verificare che tipo di approssimazione tu abbia. Se tale approssimazione deve essere minore di una certa quantità
[math]\epsilon[/math]
allora vuoi che
[math]\left|\sum_{n=0}^\infty a_n(x)-\sum_{n=0}^N a_n(x)\right|<\epsilon[/math]

Ponendo
[math]S_N(x)=\sum_{n=0}^N a_n(x)[/math]

la somma ridotta N-ima della serie e
[math]R_N(x)=f(x)-S_N(x)[/math]

il resto della serie, vuoi quindi verificare quando
[math]|R_N(x)|<\epsilon[/math]

A questo punto ti serve allora trovare una espressione per tale resto (ce ne sono tante possibili) che dipende non solo dalla funzione ma anche dal tipo di serie che vuoi calcolare (resti di serie numeriche e di serie di funzioni sono molto simili, ma cambiano per la presenza della variabile x).

Fammi sapere.

Aggiunto 21 ore 26 minuti più tardi:

Ehm, Newton, giusto per curiosità, ma perché io che ho scritto? per te stimare

[math]R_N(x)[/math]

cosa significa????

Aggiunto 5 minuti più tardi:

Comunque in linea di massima, ciò che si fa è la cosa seguente: si determinano due costanti

[math]C,\ q[/math]
entrambe positive e con
[math]q<1[/math]
in modo che per ogni
[math]n>N[/math]
si abbia
[math]a_n<C q^n[/math]
. (L'esistenza di tali costanti è assicurata dal fatto che la serie originale converge: se così non fosse, non potresti maggiorarla con una serie geometrica convergente e questo implicherebbe la possibile non convergenza della serie originale.) Allora la serie resto diventa
[math]\sum_{n=N+1}^\infty\ a_n<\sum_{n=N+1}^\infty\ C q^n=C\sum_{n=0}^\infty\ q^{n+N+1}=\\ C q^{N+1}\sum_{n=0}^\infty\ q^n=\frac{C q^{N+1}}{1-q}[/math]

che rappresenta la stima del tuo resto.
Questo topic è bloccato, non sono ammesse altre risposte.
Come guadagno Punti nel Forum? Leggi la guida completa
Registrati via email