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Ciao.

Credo di aver sbagliato questo limite sul compito, perché è una forma 0/0 e quindi non posso dividerlo.. però come faccio a risolverlo?
Nonostante ho sbagliato il procedimento, il risultato non cambia. Mi aiutate?

[math]\lim_{x\to0}{\frac{ln(1+x^2) + 1 - cosx}{x^2}}[/math]
carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
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A me viene "
[math]-\infty[/math]
" .
.
[math]\frac{\ln{(1+x^2)}+1-\cos x}{x^2}\mapsto \frac{\ln{(x^2)}+1-1}{x^2}=\frac{\ln{x^2}}{x^2}\mapsto (x^2=y)\mapsto \frac{\ln y}{y}\mapsto -\infty[/math]
.
.
Se sbaglio, correggetemi.
Carlo
PrInCeSs Of MuSiC
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Come puoi far sparire l'1 dall'argomento del logaritmo?
E soprattutto.. ok che il cos0 è 1.. ma farlo così non penso sia giusto.. e il risultato viene 3/2..
carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
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Hai ragione, mi sono confuso con x che tende a infinito.
Usando i limiti notevoli
[math]\frac{ln(1+x^2)}{x^2}=\ (x^2=y)\ =\frac{ln(1+y)}{y}\mapsto 1\\\frac{1-cosx}{x^2}\mapsto \frac{1}{2}\\quindi:\\1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}[/math]
.
.
in alternativa si può risolvere con l'Hopital derivando separatamente num e denom
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Carlo, apprezzo l'aiuto, ma non buttare a caso le risposte. Sono stata moderatrice in questo forum e ti assicuro che se fosse per saresti già stato segnalato. Ad ogni modo ho risolto, c'era solo un errore di segno sullo svolgimento effettuato con De L'Hopital.

L'ultimo svolgimento che hai proposto contiene un errore grave, ti lascio le regole per le operazioni con i limiti di funzioni:
"Il limite della somma, differenza, prodotto, quoziente di due funzioni è rispettivamente uguale alla somma, differenza, prodotto, quoziente (se il denominatore è diverso da zero) dei due limiti, purché NON SIA UNA DELLE FORME INDETERMINATE
[math]\infty - \infty[/math]
,
[math]0*\infty[/math]
,
[math]\frac{0}{0}[/math]
,
[math]\infty * \infty[/math]
"
Detto questo, ti ringrazio ugualmente dell'aiuto datomi, ma in futuro non rispondere se non sei sicuro della risposta, visto che va a discapito dell'utente in questione.
carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
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Quelle che tu citi sono effettivamente le regole per le operazioni coi limiti.
Altro è il Teorema di De L'Hopital da me suggerito, che serve proprio per cercare di risolvere le forme indeterminate
[math]\frac{0}{0}\ e\ \frac{\infty}{\infty}[/math]
.
Da wikipedia
https://it.wikipedia.org/wiki/Regola_di_de_l'Hôpital .
<< Nell'analisi matematica la regola di de l'Hôpital è un procedimento che permette di calcolare vari limiti di quozienti di funzioni reali di variabile reale che convergono a forme indeterminate delle forme
[math]\frac{0}{0}\ e\ \frac{\infty}{\infty}[/math]
con l'aiuto della derivata del numeratore e della derivata del denominatore. La regola si può estendere per cercare di calcolare limiti di funzioni appartenenti ad altre forme indeterminate.
La regola prende il nome da Guillaume de l'Hôpital, matematico francese del XVII secolo, che la pubblicò per la prima volta nel suo libro Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696). È stato in seguito provato che la regola è da attribuirsi a Johann Bernoulli, suo insegnante e corrispondente; di conseguenza viene talora chiamata regola di Bernoulli. >>
--------------
Nella mia risposta NON vengono coinvolti i casi che tu citi, in quanto i due limiti sono rispettivamente:
[math]limite_1=1\\limite_2=\frac{1}{2}[/math]
.
Aggiunto 1 ora 30 minuti più tardi:

P.S. Non chiedo (né tanto meno pretendo) le tue scuse perché, come hai visto, nemmeno io sono infallibile. Se non sono ASSOLUTAMENTE certo lo dico: "se sbaglio, correggetemi", perché non voglio (né tanto meno pretendo) che TUTTO quello che dico venga preso SEMPRE per oro colato, né fuorviare o danneggiare chicchessia.
Sono sempre stato sufficientemente umile da accettare sempre consigli e correzioni da chiunque, e quando sbaglio non ho nessuna esitazione a chiedere scusa.
Solo, non penso di essermi meritato un attacco così duro oltre tutto a sproposito.
Carlo Giannini
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Teorema: se
[math]\begin{aligned} \lim_{x\to x_0} f(x) = l_1 \in \mathbb{R} \end{aligned}[/math]
e
[math]\begin{aligned} \lim_{x\to x_0} g(x) = l_2 \in \mathbb{R} \end{aligned}[/math]
,
allora
[math]\begin{aligned} \lim_{x\to x_0} [f(x) + g(x)] = l_1 + l_2 \end{aligned}[/math]
. Dato che nello specifico,
dalla conoscenza dei ben noti "limiti notevoli", sappiamo valere
[math]\begin{aligned} \lim_{x\to 0} \frac{\log(1 + x^2)}{x^2} = 1 \end{aligned}[/math]
e
[math]\begin{aligned} \lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \end{aligned}[/math]
, per detto
teorema si ha
[math]\small \begin{aligned} \lim_{x\to 0} \frac{\log(1 + x^2) + 1 - \cos x}{x^2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \end{aligned}\\[/math]
. Fine.

Nota: cerchiamo di essere meno polemici e più concreti, grazie.
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