Benz
Benz - Erectus - 77 Punti
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Finito il programma e gli esercizi ad esso associati, mi rimane indigesto solo questo..se qualcuno puo' darmi un ultima mano:

Data la decomposizione R^4= W+Z con W=Span(2e1-e2+e3, e2-e3+e4) e Z=Span(3e1-e3, 2e2-e4), calcolare la proiezione su W di e1.


Benz

Aggiunto 23 ore 54 minuti più tardi:

Grazie mille Ciampax, ovviamente ho eseguito tutti i calcoli e il risultato e' corretto.
Purtroppo qua pero' i problemi non finiscono piu'..questo esercizio all'apparenza "semplice" mi ha rubato ore ed ore di tempo e ancora non sono giunto alla stessa soluzione del prof.:

Per quali z € C i vettori (1-4i, z-i) e (2+i, 3-2i) sono linearmente dipendenti?

p.s. i vettori li ho scritti cosi' perche' non mi riesce metterli in colonna tra le parentesi come fatto sull'esercizio originale.

il risultato del prof e' z= -6/5(4+3i)

mentre il "mio" z= -6(2i+1)/2+i

Sapresti mica dirmi dove sbaglio?
ciampax
ciampax - Tutor - 29255 Punti
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E' una semplice questione di definizioni: dire che
[math]\mathbb{R}^4=W\oplus Z[/math]
vuol dire che ogni vettore
[math]v\in\mathbb{R}^4[/math]
si scrive in modo unico come
[math]v=w+z,\ w\in W,\ z\in Z[/math]
. Ora, sapendo quali sono i generatori di tali spazi, segue che
[math]w=\alpha(2e_1-e_2+e_3)+\beta(e_2-e_3+e_4)\\ z=\gamma(3e_1-e_3)+\theta(2e_2-e_4)[/math]

con
[math]\alpha,\beta,\gamma,\theta\in\mathbb{R}^4[/math]
. Ne segue che quello che ti serve è trovare i coefficienti
[math]\alpha,\beta,\gamma,\theta[/math]
tali che
[math]e_1=\alpha(2e_1-e_2+e_3)+\beta(e_2-e_3+e_4)+\gamma(3e_1-e_3)+\theta(2e_2-e_4)=\\
(2\alpha+3\gamma)e_1+(-\alpha+\beta+2\theta)e_2+(\alpha-\beta-\gamma)e_3+(\beta-\theta)e_4[/math]

e per l'indipendenza lineare della base canonica di
[math]\mathbb{R}^4[/math]
segue che
[math]\left\{\begin{array}{l}
2\alpha+3\gamma=1\\ -\alpha+\beta+2\theta=0\\ \alpha-\beta-\gamma=0\\ \beta-\theta=0
\end{array}\right.[/math]

Suppongo che tu sappia risolvere il sistema. Alla fine la proiezione cercata sarà data da

[math]w=\alpha(2e_1-e_2+e_3)+\beta(e_2-e_3+e_4)[/math]

con
[math]\alpha,\beta[/math]
determinati dal sistema.
Aggiunto 19 ore 34 minuti più tardi:

Ci sono molti modi per risolvere un esercizio di questo genere: io trovo che, quello più pratico, dal momento che si ricerca una dipendenza lineare per due vettori di due componenti, sia quello di scrivere la matrice formata da essi e calcolare il determinante: affinché ci sia dipendenza lineare esso deve essere pari a zero. vediamo

[math]A=\left(\begin{array}{ccc}
1-4i & & 2+i\\ & & \\ z-i & & 3-2i
\end{array}\right)\ \Rightarrow\ (1-4i)(3-2i)-(2+i)(z-i)=0[/math]

e quindi

[math]3-2i-12i-8-(2+i)z+2i-1=0\ \Rightarrow\ (2+i)z=-6-12i=-6(1+2i)[/math]

per cui

[math]z=-6\cdot\frac{1+2i}{2+i}=-6\cdot\frac{(1+2i)(2-i)}{|2+i|^2}=-6\cdot\frac{4+3i}{5}[/math]

Quello che scrivi tu non è un numero complesso,ma il rapporto tra due numeri complessi che devi riportare nella forma algebrica classica.
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