ale88
ale88 - Erectus - 146 Punti
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Ciao a tutti!
Ho un dubbio...se io Z=min(X,1), dove X-exp(1) come faccio a calcolarmi E(Zn) ? ovvero E(Zn)= E (min (X,1)) ??

Grazie in anticipo!
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Mmmmm, no, aspetta, c'è qualcosa che non mi torna. Dunque, cerchiamo di capire bene il testo del problema (che, se lo avessi scritto direttamente così com'è non avrebbe portato a confusione). Non è chiaro come è fatta la variabile aleatoria
[math]X[/math]
, per prima cosa. Detto questo, la variabile aleatoria
[math]Z[/math]
è definita così:
[math]Z=\min(X,1)=\left\{\begin{array}{lcl}
1 & & X\ge 1\\ X & & X<1
\end{array}\right.[/math]

Ora, finché non riporti le cose scritte per bene, altro non posso dirti.
ale88
ale88 - Erectus - 146 Punti
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Non ho riportato l'esercizio perchè era troppo lungo, nel senso che il dubbio che ho io è (credo) solo un pezzo dello svolgimento dell'esercizio vero e proprio. Comunque ora ti riporto l'esercizio pari pari :

Sia
[math]Z = min (X,1)[/math]
, dove
[math]X\sim exp(1)[/math]
.
Si consideri una successione di variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite
[math]Z_1,Z_2...[/math]
, tali che
[math]Z_1 \sim Z[/math]
.
Posto
[math]X_n = \frac{1}{\sqrt{n}}(Z_n - 1 + \frac{1}{e}+\frac{1}{n^2})[/math]
, si stabilisca se la successione
[math] \frac{X_1+....X_n}{ \sqrt{VarX_1+....VarX_n}}[/math]
con
[math]n\geq1[/math]
converge.

Il mio dubbio veniva quindi dal fatto che prima di tutto dovrei (se non sbaglio) calcolarmi
[math]EX_n = \frac{1}{\sqrt{n}}(E(Z_n) - 1 + \frac{1}{e}+\frac{1}{n^2})[/math]
...quindi quel E(Z_n)
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Allora, ti do un consiglio da docente Universitario rompiscatole quale sono: quando si fa una domanda, a prescindere dal suo livello di complessità, meglio sempre essere precisi, per evitare fraintendimenti e per essere certi che si comprenda cosa chiedi. Prima hai citato, nel primo post, le
[math]Z_n[/math]
ma non avevi scritto cosa fossero, ti pare?
Prima di procedere, voglio un chiarimento su una cosa: sei sicuro che
[math]X\sim\exp(1)[/math]
e non, per esempio,
[math]X\sim\exp(x)[/math]
?
ale88
ale88 - Erectus - 146 Punti
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Ha ragione! Mi scuso :( in futuro scriverò tutto l'esercizio così è tutto più chiaro!
Comunque si si sono sicuro che il testo dica proprio
[math]X \sim exp(1)[/math]
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Ok, il mio non voleva essere un rimprovero, ma un vero e proprio consiglio: esplicitare per bene la richiesta è molto più proficuo per te e ti evita, eventualmente, che qualcuno troppo puntiglioso possa "insultarti" gratuitamente (ti assicuro che spesso succede". Veniamo ora al problema.

Dire che
[math]X\sim\exp(1)[/math]
(la variabile aleatoria esponenziale di parametro
[math]\lambda=1[/math]
implica che la sua densità di probabilità sia data dalla funzione
[math]f_X(x)=e^{-x},\qquad f_X:[0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}[/math]

(sono questioni di teoria che dovresti conoscere, per cui non mi dilungo troppo). Dovresti anche sapere che

[math]E(X)=1,\qquad var(X)=1,\qquad F_X(x)=1-e^{-x}[/math]

dove
[math]F_X(x)[/math]
è la funzione di ripartizione. Per la variabile aleatoria
[math]Z[/math]
avremo che essa coincide, su
[math][0,+\infty)[/math]
con la variabile aleatoria
[math][/math] in quanto [math]e^{-x}<1\ \Rightarrow\ x>0[/math]
.
Dal momento che le
[math]Z_n[/math]
sono indipendenti e identicamente distribuite, possiamo affermare che esse si comportano tutte come la variabile
[math]Z[/math]
e quindi come la
[math]X[/math]
e quindi hanno tutte le stesse caratteristiche dette prima. Vediamo allora come sono fatte le
[math]X_n[/math]
: abbiamo, essendo
[math]Z_n\sim Z\sim X[/math]

[math]E(X_n)=E\left(\frac{1}{\sqrt{n}}(Z-1+1/e+1/n^2)\right)=\\
\frac{1}{\sqrt{n}}\left(E(X)-1+1/e+1/n^2\right)=\frac{n^2+e}{e n^2\sqrt{n}}[/math]

[math]var(X_n)=\frac{1}{n}\cdot var(X)=\frac{1}{n}[/math]

Ne segue che

[math]Y_n=\frac{\sum_{j=1}^n X_j}{\sqrt{\sum_{j=1}^n var(X_j)}}=\frac{1}{\sqrt{\sum_{j=1}^n\frac{1}{j}}}\cdot\sum_{j=1}^n\frac{j+e}{e j^2\sqrt{j}}[/math]

Ora, osserva che la sommatoria a denominatore ha come limite la serie armonica, che diverge positivamente, mentre la sommatoria a numeratore si comporta come una serie armonica generalizzata con termine generale
[math]1/n^{3/2}[/math]
e converge: ne segue che quando calcoli
[math]\lim_{n\to+\infty} Y_n[/math]
tale valore è il rapporto tra una costante positiva e
[math]+\infty[/math]
, e quindi
[math]Y_n\rightarrow 0[/math]
è convergente.
ale88
ale88 - Erectus - 146 Punti
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La ringrazio davvero tanto! Volevo chiedere un'ultima cosa...ma quindi l'informazione
[math]Z= min (X,1)[/math]
non influisce particolarmente su nulla ?
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