alessre
alessre - Erectus - 148 Punti
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ciao, avrei bisogno del vostro aiuto con questo esercizio.

Stabilire sei il campo vettoriale

[math]F(x,y)= ( \frac{1-2x}{x^{2}-y^{2}-x}, \frac{2y}{x^{2}-y^{2}-x} )[/math]

sia conservativo nel suo dominio.
Calcolare, se possibile,
[math]\int_{C} F[/math]
dove C è il segmento sull'asse x compreso tra 1/4 e 1/2 orientato secondo l'asse x

Io ho iniziato a svolgerlo in tale maniera.

Il dominio di F è
[math]D(F(x,y))={ (x,y)\in \mathbb{R}^{2},\forall x,y\in \mathbb{R}\, \, con\, \,x^{2}-y^{2}-x\neq 0 }[/math]


Verifichiamo se il campo è conservativo.

Poniamo
[math]F=(f_{1},f_{2})[/math]
con
[math]f_{1}(x,y)=\frac{1-2x}{x^{2}-y^{2}-x}\, f_{2}(x,y)= \frac{2y}{x^{2}-y^{2}-x}[/math]


Calcoliamo le derivate parziali
[math]\frac{\delta }{\delta y}f_{1}(x,y)=\frac{2y-4xy}{(x^{2}-y^{2}-x)^{2}}[/math]

[math]\frac{\delta }{\delta x}f_{2}(x,y)=\frac{2y-4xy}{(x^{2}-y^{2}-x)^{2}}[/math]


Si osserva che

[math]\frac{\delta }{\delta y}f_{1}(x,y)=\frac{\delta }{\delta x}f_{2}(x,y)=\frac{2y-4xy}{(x^{2}-y^{2}-x)^{2}}[/math]


Ne segue che F è conservativo.


ora come risolvo la seconda parte.
se mi potete aiutare
grazie.
mc2
mc2 - Genius - 14197 Punti
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Ti suggerisco due metodi, il primo e` piu` generale, il secondo vale per questo esercizio in particolare


Primo metodo (generale)

Visto che hai dimostrato che e` conservativo puoi ricavarti la funzione potenziale, cioe` una funzione U(x,y) tale che

[math]\frac{\partial U}{\partial x}(x,y)=f_1(x,y)[/math]
e
[math]\frac{\partial U}{\partial y}(x,y)=f_2(x,y)[/math]

dopo di che l'integrale tra i punti A e B e` semplicemente la differenza dei valori di U calcolati in A e B

quindi se
[math]A(\frac{1}{4},0)[/math]
e
[math]B(\frac{1}{2},0)[/math]

si ha
[math]\int_C\vec{F}\cdot d\vec{s}=U(\frac{1}{2},0)-U(\frac{1}{4},0)[/math]


Secondo metodo (specifico per questo esercizio)


Il cammino di integrazione e` il segmento sull'asse x compreso tra 1/4 e 1/2 orientato secondo l'asse x.

Quindi il vettore
[math]d\vec{s}[/math]
dell'integrale di linea e`
[math]d\vec{s}=dx\,\vec{i}[/math]
(parallelo all'asse x).
L'integrale di linea e`

[math]\int_C\vec{F}\cdot d\vec{s}=\int_Cf_1(x,y)dx[/math]

... quindi e` una normalissima integrazione rispetto a x!!!

Devi calcolare la funzione F sull'asse x quindi poni y=0 e l'integrale e`:

[math]\int_C\vec{F}\cdot d\vec{s}=\int_{1/4}^{1/2}f_1(x,0)dx=...[/math]
alessre
alessre - Erectus - 148 Punti
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allora abbiamo:

[math]\int_C\vec{F}\cdot d\vec{s}=\int_{1/4}^{1/2}f_1(x,0)dx=[/math]

[math]=\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}\frac{1-2x}{x^{2}-x}dx=-\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}\frac{2x-1}{x^{2}-x}dx[/math]

osservando che il numeratore della funzione integranda è la derivata del su denominatore, si ha

[math]= \left ( -ln|x^{2}-x| \right )_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}[/math]

da cui

[math]= -ln|(\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{2}|+ln|(\frac{1}{4})^{2}-\frac{1}{4}|[/math]

[math]-ln(\frac{1}{4})+ln(\frac{1}{8})= ln \left ( \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{4}} \right )= ln\left ( \frac{1}{8}\cdot 4 \right )= ln \frac{1}{2}[/math]

dimmi se è corretto.
grazie.
mc2
mc2 - Genius - 14197 Punti
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Quasi giusto: devi fare meglio i calcoli.
[math](1/4)^2-(1/4)[/math]
non fa 1/8...
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