lavagna4321
lavagna4321 - Erectus - 52 Punti
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Sia f : R → R una funzione continua tale che
(*) (x^2)/2≤ f(x) ≤ 2x^2
∀x ∈ [0, 1] .
Quali delle seguenti affermazioni sono vere per qualsiasi funzione f soddisfacente (*)?
i) ∃x0 ∈ [0, 1] : f(x0) = 7/4
;ii) ∃x0 ∈ [0, 1] : f(x0) = 3/2
iii) ∃x0 ∈ [0, 1] : f(x0) = 1 ;
iv) ∃x0 ∈ [0, 1] : f(x0) = 1/2

La soluzione è solo la iv. chi mi spiega? grazie
ciampax
ciampax - Tutor - 29253 Punti
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Basta disegnarsi il grafico delle funzioni
[math]\frac{x^2}{2}[/math]
e
[math]2x^2[/math]
e pensare che se f è continua, allora essa va disegnata come una unica linea, sempre compresa tra i grafici delle due funzioni assegnate. Poiché queste due funzioni sono entrambe parabole (archi)che partono dal punto
[math](0,0)[/math]
e che arrivano, rispettivamente, nei punti
[math](1,1/2)[/math]
e
[math](1,2)[/math]
, possiamo osservare che il valore minimo che può assumere la funzione f deve essere
[math]1/2[/math]
in quanto, se da qualche parte assumesse un valore inferiore, andrebbe sotto il grafico della prima funzione
[math]x^2/2[/math]
e questo è impossibile. Per cui la IV è sicuramente vera.
Perché non lo sono le altre? Perché a differenza del minimo, ci accorgiamo che non possiamo definire un valore massimo: infatti al più, quando
[math]x=1[/math]
la funzione potrebbe valere 2, e quindi raggiungere il punto
[math](1,2)[/math]
alla fine della seconda funzione, ma questa cosa potrebbe accadere anche prima e così la funzione f andrebbe sopra la funzione
[math]2x^2[/math]
. Allo stesso modo, puoi osservare che ci possono essere funzioni continue che assumono i valori 7/4, 3/2, 1 in punti in cui finiscono sopra la funzione
[math]2x^2[/math]
(o anche sotto l'altra, ma è lo stesso) e quindi le altre tre risposte non vanno bene.
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