Hajra
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Qualcuno mi sapresti risolvere questi esercizi per favoureeeeeeeeee

Questa risposta è stata cambiata da TeM (30-11-13 12:47, 3 anni 10 mesi 29 giorni )
TeM
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1. Non credo sia difficile calcolare
[math]\begin{aligned}\lim_{x\to -1^+}\log\sqrt{x+1}=-\infty \; .\end{aligned}\\[/math]
Verifichiamo:
[math]\forall\,I(-\infty)[/math]
fissato
[math]M>0\\[/math]
arbitrariamente grande,
[math]\exists \, U_{-1^+}[/math]
tale che
[math]\forall\,x\in U_{-1^+}\; (x\ne -1):\\[/math]

[math]\Rightarrow \; \left|\log\sqrt{x+1}\right| > M\\[/math]
.
A te risolvere tale disequazione rispetto ad
[math]x\\[/math]
.

2. Per verificare la continuità di
[math]f[/math]
in
[math]x=1[/math]
occorre vedere se
[math]\begin{aligned}\lim_{x\to 1} f(x) = f(1)\end{aligned}[/math]
.
Per la derivabilità di
[math]f[/math]
nel suddetto punto è sufficiente verificare se
[math]\begin{aligned}\lim_{h \to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}\end{aligned}\\[/math]
esiste finito.

3. Per lo studio di quest'altra funzione si procede alla solita maniera ;)
Hajra
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per il 1° esercizio:
[math]\begin{aligned}\lim_{x\to -1^+}\log\sqrt{x+1}=-\infty\;.\end{aligned}\\[/math]

ma per quanto riguarda la verifica non è così
f(x) < -M
per il 2° esercizio
devo mettere 1 dove c'è x vero? se è così mi porta 0 quindi che vuol dire che la funzione è continua?? e per quanto riguarda la derivabilita sinceramente non ho capito la formula :'( nel senso che devo mettere la funzione + h poi - f(x) tutto fratto h ma per f(1) cosa intende quello k mi porta mettendo 1 al posto di x????
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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1. Bada bene che da
[math]\left|\log\sqrt{x+1}\right|>M[/math]
, dato che siamo interessati allo studio dell'intorno destro di
[math]x=-1[/math]
, segue
[math]-\log\sqrt{x+1}>M[/math]
ossia
[math]\log\sqrt{x+1}<-M\\[/math]
.

2. Sulla continuità mi trovi d'accordo. Sulla derivabilità, molto semplicemente, si ha
[math]\begin{aligned}\lim_{h \to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{(1+h)|\log(1+h)|-1|\log 1|}{h}=\dots\end{aligned}\\[/math]


Ora prova a continuare un po' da sola ;)
Hajra
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[math]f(x)= (x+1)e^\frac{x}{x-1}[/math]

dominio:
x ≠ 1 quindi posso scrivere anche così
[math](-\infty;1)U(1;+\infty)[/math]

simmetrie:
[math]f(-x)= (-x+1)e^\frac{-x}{-x-1}[/math]
la funzione non è pari nè dispari
asintoto verticale:
[math]limx->1^+ (x+1)e^\frac{x}{x-1}= +\infty[/math]

[math]limx->1^- (x+1)e^\frac{x}{x-1}= 0[/math]

quindi la funzione ha asintoto verticale al punto 1+, mentre non ha per il punto 1-
asintoto orizzontale:
[math]limx->+\infty (x+1)e^\frac{x}{x-1}= +\infty[/math]
ho dei dubbi per quanto riguarda asintoto orizzontale
quello che ho fatto, è giusto così??????
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Quello che hai scritto è tutto corretto!! Noto dei progressi Hajra,
avanti tutta!! :) Ora vedi che succede per
[math]x\to -\infty[/math]
. ;)
Hajra
Hajra - Habilis - 174 Punti
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[math]lim x-> -\infty (x+1)e^ \frac{x}{x-1} = -\infty[/math]
quindi non c'è asintoto orizzontale, a questo punto vado vedere se esiste asintoto obliquo
m=
[math]lim x-> ±\infty \frac{(x+1)e^ \frac{x}{x-1}}{x}↔lim x->±\infty 1* e^\frac{x}{x-1}[/math]
la potenza di e avendo lo stesso grado di x:
[math]limx-> ±\infty e^1 = e[/math]

la formula è y= mx+q ho trovato "m" adesso devo trovare "q"
[math]limx-> ±\infty f(x)-mx [/math]
quindi
[math](x+1)e^ \frac{x}{x-1}-ex[/math]
va bene così???? il q dopo come riesco a risolvere???
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Vediamo di scrivere per bene anche i passaggi intermedi...

[math]
\small
\begin{aligned}
m
& = \lim_{x\to \pm\infty} \frac{(x+1)e^{\frac{x}{x-1}}}{x} \\
& = \lim_{x\to \pm\infty} \frac{x+1}{x} \cdot \lim_{x\to \pm\infty} e^{\frac{x}{x-1}}\\
& = 1 \cdot e^1 \\
& = e
\end{aligned}\\
[/math]


[math]
\small
\begin{aligned}
q
& = \lim_{x\to \pm\infty} (x+1)e^{\frac{x}{x-1}} - ex\\
& = \lim_{x\to \pm\infty} (x+1)e^{\frac{x}{x-1}} - e(x+1) + e\\
& = e + \lim_{x\to \pm\infty} e(x+1)\left(e^{\frac{1}{x-1}} - 1\right) \\
& = e + \lim_{x\to \pm\infty} e\frac{x+1}{x-1} \\
& = e + e \\
& = 2e
\end{aligned}\\
[/math]


Dunque, l'asintoto obliquo ha equazione
[math]y=e\,(x+2)[/math]
. ;)
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