icaf
icaf - Sapiens - 717 Punti
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E' possibile capire a colpo d'occhio se una serie converge?
Vi allego l'esercizio che dovrei risolvere in un quiz ma ho pochi minuti di tempo...
Come posso fare??
Con il criterio del rapporto ci impiego troppo tempo!
Grazie
mc2
mc2 - Genius - 14862 Punti
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Il metodo del rapporto e` il metodo piu` veloce!

Non devi sviluppare tutti i calcoli, ti basta guardare il termine di grado maggiore.
icaf
icaf - Sapiens - 717 Punti
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Ok!! Allora forse non mi è chiaro qualcosa...
Sarebbe possibile avere un esempio?
mc2
mc2 - Genius - 14862 Punti
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Ciao, in realta` la mia risposta non e` completa.

Il metodo del rapporto e` uno dei piu` veloci, ma in questo caso non e` di aiuto, infatti: posto
[math]A_N=\frac{n^a}{n^{10}+7n^3+5}[/math]

si tratta di calcolare il limite

[math]\lim_\limits{n\to\infty}\frac{A_{N+1}}{A_N}=[/math]

[math]=\lim_\limits{n\to\infty}\frac{(n+1)^a}{(n+1)^{10}+7(n+1)^3+5}\frac{n^{10}+7n^3+5}{n^a}=[/math]

non occorre sviluppare completamente i calcoli, basta tenere le potenze piu` grandi

[math]=\lim_\limits{n\to\infty}\frac{n^{10+a}+\cdots}{n^{10+a}+\cdots}=1[/math]

e quindi non si puo` concludere nulla...



Il criterio del confronto di infinitesimo e` un altro metodo molto rapido:

Se esiste un valore di
[math]\alpha[/math]
per cui
[math]\lim_\limits{n\to\infty}n^\alpha A_n[/math]
e` un numero finito, e inoltre
[math]\alpha > 1[/math]
, allora la serie data converge.

In questo caso:

[math]\lim_\limits{n\to\infty}\frac{n^\alpha n^a}{n^{10}+\cdots} [/math]

e perche' la serie converga occorre che

[math]\alpha+ a \le 10[/math]

[math]a \le 10-\alpha[/math]

e poiche'
[math]\alpha[/math]
deve essere > 1 si ha :
[math]a <9[/math]


Come vedi, i calcoli sono semplicissimi e si possono fare a mente
icaf
icaf - Sapiens - 717 Punti
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Quindi se dovessi usare il confronto infinitesimale in altri esercizi posso prendo l'esponente di grado maggiore e faccio il calcolo??
mc2
mc2 - Genius - 14862 Punti
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in pratica e` cosi`.
icaf
icaf - Sapiens - 717 Punti
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in questo esempio l'esponente maggiore è 5 però poi?
Scusa... so che è semplice ma non riesco a capire al 100%
mc2
mc2 - Genius - 14862 Punti
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In questo esempio l'esponente maggiore e` 5 al numeratore e alpha al denominatore

Ragionando in modo intuitivo:
Se alpha=6 si ha una serie equivalente a quella di termine generico 1/n che diverge, quindi deve essere alpha > 6


Applicando il criterio del confronto di infinitesimo invece bisogna trovare un parametro k>1 (uso k perche' alpha e` gia` nel testo dell'esercizio) tale che

[math]\lim_\limits{n\to\infty}\frac{n^5}{n^\alpha+1} n^k[/math]
sia finito
quindi deve essere
[math]k+5-\alpha \le 0[/math]

cioe`
[math]\alpha \ge 5+k[/math]
e poiche` k e` strettamente > 1:
[math]\alpha > 6[/math]
icaf
icaf - Sapiens - 717 Punti
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Ok... lo stesso ragionamento si può applicare per capire la convergenza di un integrale improprio?
mc2
mc2 - Genius - 14862 Punti
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E` molto simile in effetti...
icaf
icaf - Sapiens - 717 Punti
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Ok... grazie mille!!
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