Maria Francesca Torchia
Maria Francesca Torchia - Ominide - 10 Punti
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Un solido di ferro ps =7,5 pesa 81.9 kg ed è formato da un prisma quadrangolare regolare con una cavità a forma di piramide regolare avente la base coincidente con la base superiore del prisma. Sapendo che il prisma è alto 50 cm è che il volume della piramide misura 4320 cm, calcola l' area totale del solido
SteDV
SteDV - Genius - 4202 Punti
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Ciao Maria Francesca,

cominciamo col ricavare il volume del prisma a partire dal peso del solido e dal suo peso specifico:

[math]V_{solido} = \frac{P}{p_s} = \frac{81,9}{7,5} = 10,92 \text{ dm}^3 = 10920 \text{ cm}^3[/math]


[math]V_{prisma} = V_{solido} + V_{piramide} = 10920 + 4320 = 15240 \text{ cm}^3[/math]


N.B. Ricorda che il peso specifico normalmente è espresso in kg/dm³. Qui converto il risultato in cm³ per uniformarlo al volume della piramide che conosciamo.

Ora possiamo calcolare l'area di base del prisma (e della piramide):

[math]A_B = \frac{V_{prisma}}{h_{prisma}} = \frac{15240}{50} = 304,8 \text{ cm}^2[/math]


Dall'area di base (che è quadrata) ricaviamo il lato, dal lato il perimetro e dal perimetro e l'altezza, la superficie laterale del prisma:


[math]l_B = \sqrt{A_B} = \sqrt{304,8} = 17,46 \text{ cm}[/math]


[math]2p_B = 4 l_B = 4 \cdot 17,46 = 69,83 \text{ cm}[/math]


[math]Sl_{prisma} = 2p_B \cdot h_{prisma} = 69,83 \cdot 50 = 3491,7 \text{ cm}^2[/math]


A questo punto abbiamo bisogno della superficie laterale della piramide, che costituisce la cavità superiore del prisma. Per calcolarla, ricaviamo l'altezza della piramide stessa, quindi ricorriamo al teorema di Pitagora per calcolarne l'apotema:

[math]h_{piramide} = 3 \frac{V_{piramide}}{A_B} = 3\frac{4320}{304,8} = 42,52 \text{ cm}[/math]

[math]a = \sqrt{(\frac{l_B}{2})^2 + h_{piramide}^2} = \sqrt{(\frac{17,46}{2})^2 + 42,52^2} = 43,41 \text{ cm}[/math]

[math]Sl_{piramide} = \frac{2p_B \cdot a}{2} = \frac{69,83 \cdot 43,41}{2} = 1515,66 \text{ cm}^2[/math]


Finalmente possiamo sommare i risultati ottenuti per ottenere la superficie totale del solido:

[math]St = A_B + Sl_{prisma} + Sl_{piramide} = 304,8 + 3491,7 + 1515,66 = 5312,15 \text{ cm}^2[/math]


Spero di non aver sbagliato qualche conto nella fretta.
Comunque dimmi se ti trovi! ;)
melody_gio
melody_gio - Tutor - 33011 Punti
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sposto in matematica medie.
carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
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Sei sicura di aver scritto bene tutti i dati? A me vengono numeri "strani". In particolare hai copiato bene il volume della piramide?
Fammi sapere.
Comunque col peso 81,9 Kg e col peso specifico (ps = 7,5) si trova il Volume del solido:

[math]Peso=Volume\cdot ps\\da\ cui\ ricaviamo\\Volume=\frac{Peso}{ps}=\frac{81,9}{7,5}=10,92\ dm^3= 10920\ cm^3[/math]
.
.
Per calcolare lo spigolo di base bisogna trovare l'area di base (che è un quadrato):
[math]A_b=\frac{Volume\ del\ prisma}{h}[/math]
.
Il volume che abbiamo trovato è quello del SOLIDO, cioè del prisma MENO il "buco", cioè il volume del prisma MENO il volume della piramide.
Quindi il Volume totale del prisma è:
Volume del solido + Volume della piramide, cioè:
.
[math]V_{prisma}=V_{solido}+V_{piramide}=10920+4320=15240[/math]
.
.
Ora:
[math]A_b=\frac{15240}{50}=304,8\\ [/math]

Da qui, siccome la base è un quadrato, troviamo il lato di base:
.
[math]L=\sqrt{304,8}=17,5485222...=17,55\ (approssimato)\\[/math]

Ecco perché dico che vengono numeri "strani". Di solito, pur con la virgola, ci aspetteremmo che la radice quadrata venga "precisa".
In ogni caso col Volume e l'Area base della piramide possiamo trovare l'altezza della piramide e poi con Pitagora calcolare l'apotema che ci serve per la superficie laterale del solido che è formata da:

superficie laterale del prisma +
Area base del prisma +
superficie laterale della piramide
.
Fammi sapere....
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