eleonora.romeo
eleonora.romeo - Ominide - 25 Punti
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un trapezio isoscele ha la base menore e il lato obbliquo rispettivamente la metà e i 5/12 della base maggiore .sapendo che il perimetro è 168 cm. calcola area totale e volume solido generato dalla rotazione completa del trapezio attorno alla base maggiore
nRT
nRT - Moderatore - 3325 Punti
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Ciao,
possiamo risolverlo nel seguente modo. Chiamiamo:

base maggiore:
[math]B[/math]


base minore:
[math]b[/math]


lato obliquo:
[math]l[/math]


altezza:
[math]h[/math]


superficie totale:
[math]S[/math]


volume:
[math]V[/math]


Tutte le lunghezze sono considerate in centimetri.

Sappiamo che:

[math]
b=\frac{1}{2}B \\
l = \frac{5}{12}B \\
B + b + 2l = 168 \\
[/math]


In quest'ultima sostituiamo
[math]b[/math]
e
[math]l[/math]
:
[math]
B + \frac{1}{2}B + 2 \cdot \frac{5}{12}B = 168 \\
\frac{6B + 3B + 5B}{6} = 168 \\
\frac{14B}{6} = 168 \\
\frac{7B}{3} = 168 \\
B = \frac{168 \cdot 3}{7} = 72 \\
b = \frac{1}{2}B = 36 \\
l = \frac{5}{12}B = 30 \\
h = \sqrt{l^2- \left( \frac{B-b}{2} \right)^2} \\
h = \sqrt{30^2 - 18^2} \\
h = \sqrt{900 - 324} \\
h = \sqrt{576} \\
h = 24 \\
S = \frac{(B+b)h}{2} \\
S = \frac{108 \cdot 24}{2} \\
S = 1\ 296 \\
[/math]


Se tracciamo le due altezze del trapezio ci accorgiamo che dividiamo il trapezio in due triangoli e in un rettangolo.
Facciamo ruotare tutto attorno alla base maggiore.
Notiamo che i due triangoli formano due coni di raggio
[math]h[/math]
e altezza
[math]\frac{B-b}{2}[/math]
e il rettangolo forma un cilindro di raggio
[math]h[/math]
e altezza
[math]b[/math]
.
Il volume è la somma dei due volumi dei coni con il volume del cilindro.

[math]
V = 2 \cdot \frac{1}{3} \pi h^2 \left( \frac{B-b}{2} \right) + \pi h^2 b \\
V = \pi h^2 \left( \frac{B-b}{3} + b \right) \\
V = \pi h^2 \left( \frac{B-b+3b}{3} \right) \\
V = \pi h^2 \left( \frac{B+2b}{3} \right) \\
V = \pi 24^2 \left( \frac{72+72}{3} \right) \\
V = 27\ 648 \pi \approx 86\ 858,8 \\
[/math]


Spero ti sia stato d'aiuto. Se c'è qualcosa di non chiaro chiedi pure che te lo spiego.
Ciao :)
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