Letialex
Letialex - Habilis - 163 Punti
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GEOMETRIA PIRAMIDE
1° PROBLEMA
UNA PIRAMIDE HA PER BASE UN RETTANGOLO AVENTE IL PERIMETRO DI 100 CM E UNA DIMENSIONE LUNGA 14 CM. SAPENDO CHE IL SUO VOLUME MISURA 4032 CM CUBICI, CALCOLANE L'AREA DELLA SUPERFICIE TOTALE (R. 1824 CM QUADRATI)

2° PROBLEMA
UN TRAPEZIO ISOSCELE è LA BASE DI UNA PIRAMIDE RETTA ALTA 7,2 CM SAPENDO CHE IL LATO OBLIQUO E L'ALTEZZA DEL TRAPEZIO MISURANO RISPETTIVAMENTE 13.5 CM E 10.8 CM CALCOLA L'AREA DELLA SUPERFICIE TOTALE E IL VOLUME DELLA PIRAMIDE.
(R. 338.8 CM QUADRATI - 349.92 CM CUBICI)
Ali Q
Ali Q - Mito - 23941 Punti
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Ciao, LetiAlex! Ecco a te....

PROBLEMA 1:

Chiamo:
b = altezza rettangolo di base
l = base reattngolo di base
h = altezza piramide
a = apotema piramide
ab = apotema di base


Perimetro = 2b + 2l = 100 cm
2*14 + 2l = 100 cm
28 + 2l = 100 cm
2l = 100 -28 = 72 cm
l = 72/2 = 36 cm


A(base) = b x l = 14 x 36 = 504 cm^2

V = area base x h/3
Quindi: h = V x 3/Area base = 4032 x 3/504 = 24 cm


L'apotema della piramide rappresenta l'altezza delle facce laterali della piramide stessa.
Avendo la piramide in questione una base rettangolare, le facce non saranno tutte uguali, ma uguali a due a due. Ci saranno quindi due differenti apotemi.
Il primo apotema sarà l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha per cateti l'altezza della piramide e metà della dimensione maggiore del reattngolo di base, mentre l'altro sarà l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha per cateti l'altezza della piramide e metà della dimensione minore del rettangolo di base.

Posso duque utilizzare il teorema di Pitagora:
a1 = radice di (h^2 +ab^2) = radice di (24^2 + 7^2) = radice di (576 + 49) = radice di (625) = 25 cm

a2 = radice di (h^2 + ab^2) = radice di (24^2 + 18^2)= radice di (576 + 324) = radice di 900 = 30 cm

A(lat)1 = 2(l x a1)/2 = b x a1 = 36 x 25 = 900 cm^2
A(lat) 2 = 2(b x a2)/2 = l x a2 = 14 cx 30 = 420 cm^2


Quindi: A(tot) = A(base) + A(lat) = 504 + 900 +420 = 1824 cm^2

SECONDO ESERCIZIO:

Sicura che non manchi qualche dato fonrito dal testo?
Letialex
Letialex - Habilis - 163 Punti
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Grazie Alice,
il 2° problema è così ho ricontrollato il testo, a meno che non abbia sbagliato il libro. ciao

Aggiunto 1 giorno più tardi:

Ciao Alice,
ho ricontrollato il 2° problema, infatti in una piramide retta e la base è circoscrivibile ad una circonferenza, in questo caso il trapezio circoscrive una circonferenza.
Puoi aiutarmi come sempre, e se mi spieghi passo passo il problema pechè devo saperlo descrivere, grazie come sempre, un abbraccio
Ali Q
Ali Q - Mito - 23941 Punti
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Ciao, LetiAlex!
Scusami se ti rispondo con un po' di ritardo, ma ieri mi è stato impossibile connetermi al sito (ho potuto fare solo una breve capatina verso sera).
Ti aiuto con piacere. Solo qualche minuto e provo a postarti la soluzione. Ciao!

Aggiunto 28 minuti più tardi:

SOLUZIONE:

Chiamo:
B = base maggiore trapezio
b = base minore trapezio
h = altezza trapezio
l = lato obliquo trapezio
H = altezza piramide


Se il trapezio circoscrive una circonferenza (adesso che è nota questa informazione il problema è risolvibile!), la somma dei lati opposti è congruente. Cioè:
2 l = B + b
2 x 13,5 = B + b
27 cm = B + b


Abbiamo dunque già gli elementi per calcolare il volume della piramide:
V = area base x H/3 = [(B+b) x h/2] x H/3 = (27 x 10,8 )/2 x 7,2/3 = 145,8 x 2,4 = 349,92

Andiamo avanti calcolandone l'area.
Determiniamo prima di tutto il perimetro di base:
P = (b + B) + 2l = 27 + 27 = 54 cm

Calcoliamo adesso l'apotema di base.
In un poligono come il nostro trapezio circoscritto vale che:
ap (base) = h/2 = 10,8 = 5,4 cm
Questo perchè la distanza tra le basi è diametro della circonferenza inscritta, e questa distanza è proprio pari all'altezza del trapezio.

Ci manca di determinare l'apotema della piramide.
Esso è l'ipotenusa di dun triangolo rettangolo, i cateti sono l'altezza della piramide e l'apotema di base.
Possiamo calcolare l'apotema tramite il teorema di Pitagora:
a = radice (H^2 + ap(base)^2) = radice di (7,2^2 + 5,4^2) = radice di (51,84 + 29,16) = radice di 81 = 9 cm.

Allora:
A(lat) = perimetro x apotema/2 = 54 x 9/2 = 243 cm^2
A(tot) = A(lat) + A(base) = 243 + 145,8 = 388,8 cm^2


Fine. Ciao!!!
Letialex
Letialex - Habilis - 163 Punti
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grazie Alice, sei fantastica!
ho posto altri due problemi sul forum sto provando a risolverli, ma se mi dai un aiuto come sempre te ne sarei grata, ancora grazie!
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