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  • Sfera che risale un piano inclinato scabro

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adebayor75
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Una pallina di massa 300 grammi e raggio 2,5 cm viene lanciata con velocità 2,6 m/s lungo un piano inclinato, lungo 50 cm e lato 16 cm. Calcola la velocità della sfera sulla sommità del piano, la sua accelerazione lungo il piano e il tempo impiegato a percorrerlo.
Mi aiutate a risolverlo?

Questa risposta è stata cambiata da TeM (28-03-15 19:13, 2 anni 6 mesi 1 giorno )
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Data un sfera di massa
[math]m[/math]
e raggio
[math]R[/math]
che risale un piano inclinato lungo
[math]L[/math]
e alto
[math]H[/math]
, imponendo l'equilibrio (dinamico) alla traslazione (del centro
di massa), si ha
[math]- m\,g\,\frac{H}{L} - F_a = m\,a[/math]
, mentre imponendo l'equilibrio alla
rotazione (rispetto al centro di massa), si ottiene
[math]F_a\,R = J\,\alpha[/math]
, dove
[math]F_a[/math]
è
la forza di attrito dinamico,
[math]J = \frac{2}{5}m\,R^2[/math]
è il momento d'inerzia di una sfera
(piena) e
[math]\alpha = \frac{a}{R}[/math]
è l'accelerazione angolare della sfera nell'ipotesi che non
strisci (ovvero che aderisca perfettamente al piano inclinato). Ponendo a siste-
ma tali equazioni si determina l'accelerazione del centro di massa di tale sfera:
[math]a = - \frac{5\,H}{7\,L}g\\[/math]
(negativa in quanto la sfera sta decelerando).

Nota bene: qualora si ipotizzi che il piano in questione sia liscio, oltre alla
massa della sfera, è superfluo conoscere anche il proprio raggio, in quanto
è sufficiente imporre
[math]- m\,g\,\frac{H}{L} = m\,a[/math]
, da cui
[math]a = - \frac{H}{L}g\\[/math]
.

Ora, trattandosi di un moto rettilineo uniformemente accelerato, valgono le
seguenti leggi orarie:
[math]v = v_0 + a\,t[/math]
ed
[math]s = s_0 + v_0\,t + \frac{1}{2}a\,t^2[/math]
. Quindi,
conoscendo
[math]v_0[/math]
,
[math]a[/math]
ed
[math]s_0[/math]
, rispondere agli altri quesiti non credo sia parti-
colarmente difficile, no? :)
adebayor75
adebayor75 - Ominide - 32 Punti
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Ok, grazie mille. Ho capito
Sei stato molto chiaro ed esaustivo.:-)

Aggiunto 2 minuti più tardi:

Una curiosità...si poteva anche risolvere usando il principio di conservazione dell'energia meccanica?
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Applicando tale principio, si ha:
[math]\frac{1}{2}m\,v_i^2 + \frac{1}{2}J\,\omega_i^2 = \frac{1}{2}m\,v_f^2 + \frac{1}{2}J\,\omega_f^2 + m\,g\,H\; \; \Rightarrow \; \; v_f = \sqrt{v_i^2 - \frac{10}{7}g\,H}[/math]
,
dove
[math]J = \frac{2}{5}m\,R^2[/math]
e
[math]\omega = \frac{v}{R}\\[/math]
.
Note
[math]v_i[/math]
e
[math]v_f[/math]
, ponendo a sistema le due leggi orarie
sopra scritte puoi facilmente calcolare
[math]a[/math]
e
[math]t[/math]
. ;)
adebayor75
adebayor75 - Ominide - 32 Punti
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Grazie...molto chiaro!
Gentilissimo!
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