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  • Sfera carica e guscio conduttore carico

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pedro2017
pedro2017 - Ominide - 24 Punti
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Salve, avrei bisogno di un aiuto per questo problema:
Una carica +q=5 pC è distribuita uniformemente all’interno di una sfera (si presuma che per adesso sia non conduttrice) di raggio a= 5 cm posta al centro di un guscio conduttore sferico di raggio interno b=10 cm e raggio esterno c=12 cm. Il guscio conduttore esterno è carico con una carica –q. Si determini:
- La carica presente rispettivamente sulla superficie interna ed esterna del guscio
- Il campo elettrico (modulo, direzione e verso) in tutti i punti dello spazio
- Il potenziale elettrostatico sulla superficie esterna del guscio conduttore (r=c), su quella interna (r=b), sulla superficie esterna della sfera di raggio a (r=a).
Supponiamo ora di sostituire la sfera interna con un conduttore sferico di raggio a carico con una carica +q.
- Quali delle risposte date ai punti precedenti cambiano e quanto diventano?
- Determinare la capacità del condensatore costituito dalla sfera conduttrice interna di raggio a e dal guscio conduttore esterno.
- Determinare il potenziale in tutti i punti dello spazio.
- Se un protone parte con velocità nulla dalla sfera conduttrice di raggio a, quale sarà la sua velocità quando sbatte contro la superficie interna del guscio sferico (la massa del protone è m = 1.67·10-27 Kg).


Ecco come ho cominciato a risolverlo:
- la carica sulla superficie interna è uguale a −q , mentre su quella esterna è uguale a 0
- Per r<a E=qr/4πe0a^3 , per a<r<b E=q/4πe0r^2 , mentre per b<r<c è uguale a 0. così come fuori dal guscio dato che la carica totale lì è uguale a 0.
- Per questo punto riguardante il potenziale mi servirebbe aiuto
- Il discorso sulle cariche dovrebbe restare lo stesso, mentre il campo elettrico cambia per r<a dove adesso è uguale a 0, e anche per il potenziale immagino che cambi qualcosa
- Gli ultimi tre punti non sono riuscito a risolverli.

mc2
mc2 - Genius - 14189 Punti
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Non capisco che calcoli hai fatto. La prossima volta metti una foto della pagina dei tuoi calcoli: faticherai di meno a scrivere le formule e noi capiremo dove sbagli e potremo darti consigli adeguati.

Per ora ecco qua come dovrebbe essere:

[math]E(r)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{qr}{4\pi\varepsilon_0 a^3}\quad\quad & r < a \\
\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} & a < r < b \\
0 & r > b
\end{array}\right.
[/math]

Bisogna integrare:
[math]V(r)=-\int E(r)dr[/math]

Per r < a :
[math]V(r)=-\int_0^r E(r)dr=-\int_0^r\frac{qr}{4\pi\varepsilon_0 a^3}dr=
V_0-\frac{qr^2}{8\pi\varepsilon_0 a^3}
[/math]

dove V_0 e` una costante additiva arbitraria (il valore di V nell'origine), che potremo scegliere a piacere alla fine.

Per a < r < b:

[math]V(r)=-\int_a^r E(r)dr=-\int_a^r\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}dr=
A+\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}-\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a}
[/math]

A e` una nuova costante di integrazione che si determina imponendo la continuita` di V in r=a:
[math]V(r=a^-)=V(r=a^+)\\
V_0-\frac{qa^2}{8\pi\varepsilon_0 a^3}=A\\
A=V_0-\frac{q}{8\pi\varepsilon_0 a}
[/math]

Per r > b il campo E e` nullo, quindi il potenziale e` costante, per continuita` il suo valore coincide con quello calcolato in r=b:


[math]V(r)=V(r=b^-)=
A+\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 b}-\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a}=\\
=V_0-\frac{q}{8\pi\varepsilon_0 a}+\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 b}-\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a}=\\
=V_0+\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 b}-\frac{3q}{8\pi\varepsilon_0 a}
[/math]

Ora se vuoi puoi scegliere V_0 in modo che il potenziale fuori dal sistema sia 0, e sostituisci nelle espressioni precedenti. Oppure puoi scegliere V_0=0.

pedro2017
pedro2017 - Ominide - 24 Punti
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Grazie per i chiarimenti.
Avevo scritto quella distribuzione di carica, perchè dal momento che sulla sfera interna abbiamo una carica +q, essendoci un fenomeno di induzione, la superficie più interna del guscio esterno deve "bilanciare" quella carica, e quindi ha una carica -q. Dal momento che la traccia ci dice che -q è la carica totale del guscio, sappiamo che sulla sua superficie più esterna non vi è alcuna carica. Mi sai dire dove sbaglio?
Inoltre, come potrei continuare la risoluzione degli altri punti del problema? Purtroppo mi sono fermato nel calcolo del potenziale. Grazie



Aggiunto 6 minuti più tardi:

E inoltre, per b<r<c, il campo elettrico dovrebbe essere uguale a 0 come avevo detto io, dato che ci troviamo in un conduttore?

mc2
mc2 - Genius - 14189 Punti
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Scusa, non avevo visto che il guscio e` conduttore. Allora quello che hai scritto tu e` giusto.

Il campo e` nullo per r > b.


Per il calcolo del potenziale usa la definizione:

[math]\vec{E}=-\vec{\nabla}V[/math]
che in questo caso diventa:
[math]E(r)=-\frac{dV}{dr}[/math]

In pratica devi integrare il campo in ogni intervallo separatamente, aggiungendo ovunque una costante additiva diversa.

Poi imponi che il potenziale sia continuo, cioe`:

[math]V(a^-)=V(a^+) \\
V(b^-)=V(b^+)
ecc.
[/math]

cosi` eliminerai tutte le costanti tranne una, che puoi scegliere arbitrariamente (il potenziale e` sempre definito a meno di una costante additiva), per esempio puoi decidere che sia nullo per r=0, oppure all'infinito. Fa lo stesso.

Aggiunto 2 minuti più tardi:

Se la sfera interna e` conduttrice, il campo al suo interno e` nullo (ed il ptenziale costante). Cambiano solo le risposte per r < a .

Per la capacita`: cerca sul libro la formula per la capacita` di un condensatore sferico.



Aggiunto 1 minuto più tardi:

Per l'ultima domanda: imponi la conservazione dell'energia:

[math]\Delta E_{cin}=\Delta E_{pot}[/math]
pedro2017
pedro2017 - Ominide - 24 Punti
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Ok, grazie mille: ora mi è tutto chiaro.
Sono soltanto un po' dubbioso sul calcolo del potenziale sulle tre superfici,che mi è uscito:
V(c)=0
V(b)=0
V(a)=q/4pie0r

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