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anto.defa92
anto.defa92 - Ominide - 13 Punti
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1. Un cilindro di massa trascurabile, raggio 1 cm e altezza 15 cm è immerso verticalmente in acqua in modo che la superficie di base si trovi a 20 cm sotto il pelo dell'acqua. Quanto lavoro è stato compiuto per immergere il cilindro?

2.In un contenitore riempito d'acqua fino all'altezza H = 40 cm è praticato un foro alla profondità h = 10 cm. A che distanza x cadrà l'acqua che fuoriesce dal foro?Nel problema precedente, a che profondità h' (in cm) devo fare un secondo foro nel contenitore in modo che l'acqua che esce dal secondo foro cada alla stessa distanza x di prima?

3. Un contenitore è riempito per metà con acqua e per metà con un liquido della densità di 0.8 volte la densità dell'acqua; l'altezza totale dei due liquidi nel contenitore è di 2 m. Quanto vale la pressione totale in fondo al contenitore?Nelle condizioni del problema precedente, a che profondità si pone una sfera di raggio 10 cm con densità pari a 900 kg / m³? [Indicare la profondità del centro della sfera] Qui come si procede?
mc2
mc2 - Genius - 14197 Punti
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Hai postato gli stessi esercizi (almeno, suppongo che fossi tu) in altro forum pochi giorni fa, e sono stati risolti.

Cos'e` che non ti convince in quelle soluzioni?

Prova a postare la tua risoluzione e ne potremo discutere

Aggiunto 1 ora 1 minuto più tardi:

Riguardando le risoluzioni proposte nell'altro forum ho notato che nel terzo esercizio non e` stata considerata la pressione atmosferica esterna.

La pressione sul fondo del recipiente dovrebbe essere (h=1 m)

[math]p=p_{atm}+\rho_agh+0.8\rho_agh=1.2\cdot 10^5~Pa[/math]

che e` ben diverso dal numero dato li`. Questo ti convince di piu`?

Per quanto riguarda la seconda parte dello stesso esercizio, la soluzione data e` giusta; l'equazione da risolvere e`

[math]\pi(R-x)^2(R-\frac{R-x}{3})\rho_lg+ \pi(R+x)^2(R-\frac{R+x}{3})\rho_ag=
\frac{4}{3}\pi R^3\rho_s g
[/math]

ms la soluzione viene semplicemente x=0, cioe` la sfera si posiziona con il centro sull'interfaccia tra i due liquidi
anto.defa92
anto.defa92 - Ominide - 13 Punti
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Eh nella risoluzione mi sembra andare tutto bene, solo che quando trovo il risultato, la soluzione che metto è sempre sbagliata!
mc2
mc2 - Genius - 14197 Punti
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Devo dire una cosa: i testi dei problemi (soprattutto il primo) che hai messo non sono molto chiari (per usare un eufemismo), non e` che, per caso, erano accompagnati da figure? Queste potrebbero aiutare per risolvere alcune ambiguita` dei testi... magari sono proprio quelle ambiguita` la causa della discrepanza dei risultati.

Quindi se ci sono delle figure, metti anche quelle.

Se non ci sono figure allora prova a mettere online la tua risoluzione, cosi` vediamo con piu` chiarezza e ne discutiamo.
anto.defa92
anto.defa92 - Ominide - 13 Punti
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Allora l'unico con a supporto un'immagine è il 2° [url=https://lh4.googleusercontent.com/FOvpnPjtYTBcyBX3QOT-6vdwBG0lT6C3mH9ZzzpLEeo0SZ8NkoiVM3PBCFuh9fGEZaGODUqavQ][/url]
Di questo problema la prima parte era ok, infatti arrivavo senza troppi problemi alla soluzione (0.35m); era la seconda parte che mi lasciava con dei dubbi in quanto pensavo che se mi calcolassi la gittata, non sarebbe molto utile in quanto io sto cercando l'altezza alla quale devo fare il secondo foro, non la distanza alla quale l'acqua cade..e non riesco a capire se serve calcolarsi la velocità di uscita dell'acqua.Io però so che x=v*t e quindi
[math]sqrt([2x]/g)*sqrt(2g*(40-x))=35[/math]
che risolvendo mi darebbe due x, x1=29.68cm e x2=10.3 cm
Per il 1° invece il ragionamento è che mi calcolo dapprima il lavoro svolto quando il cilindro è immerso della sua altezza totale(0.15m) e poi mi calcolo il lavoro che viene svolto quando è immerso di 20 cm in più, sommando i due lavori dovrei trovare il lavoro totale elargito per immergerlo completamente; ma anche qui i risultati non "ci" danno ragione
[math]W1=1/2*rho*g*S*h^2[/math]
dove S=pigreco*R^2*h e
[math]W2=rho*g*d*V[/math]
dove V=pigreco*R^2*h e d=0.20cm. Sommando i due lavori trovo quello totale di 0.125J
Per quanto riguarda il 3°, anche qui la prima parte è ok, trovo il valore di 17658 Pa. La seconda parte se provo a risolvere l'equazione postata, arrivo a un punto con un equazione di 3°grado...poi mi sono fermato perchè mi sembrava un po' strana la cosa; è giusta o a tuo parere ho sbagliato qualcosa?

Ti ringrazio per l'aiuto! Soprattutto se riuscissi a togliermi i dubbi cercando di spiegarmi un po' i ragionamenti dietro i numeri e le formule :)!
mc2
mc2 - Genius - 14197 Punti
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Per quanto riguarda il secondo problema :

certo che serve calcolarsi la velocita` di uscita dell'acqua per avere la gittata!


Nel primo problema il ragionamento e` giusto, ma sbagli a scrivere la formula della sezione:
[math]S=\pi\cdot R^2[/math]
(hai messo un h di troppo).
Invece il volume che serve nel calcoli di W_2 e` giusto. Prova a rifare i calcoli.


Nel terzo problema: dove hai trovato che 17658 Pa e` il risultato giusto?

Sarebbe giusto solo se non ci fosse la pressione esterna (cioe` se il recipiente fosse in una camera a vuoto), ma in tal caso il testo del problema dovrebbe dirlo! Di solito quando non si specifica questo si intende che sulla superficie libera c'e` la pressione atmosferica normale.

Per la seconda parte del problema e` giusto che venga un'equazione di terzo grado che si risolve graficamente (con l'aiuto di un computer). Una delle soluzioni viene x=0, le altre due soluzioni o sono complesse o non sono accettabili

(Se x e` la posizione del centro della sfera, siccome sappiamo che la sfera non puo` stare tutta nel liquido leggero (perche` e` piu` pesante) e neanche tutta nell'acqua (perche' e` piu` leggera) e` ovvio che |x| deve essere minore del raggio della sfera, cioe` -R < x < R. Se risolvi l'equazione di terzo grado e trovi una soluzione all'infuori di questo intervallo, non e` accettabile! )

La soluzione x=0 e` abbastanza intuitiva: la densita` della sfera e` il valor medio esatto tra la densita` dell'acqua e quella del liquido leggero... anche senza fare i calcoli io mi aspetto che la sfera si posizioni esattamente a meta`!

Aggiunto 1 minuto più tardi:

Per il secondo problema, abbi un po` di pazienza, piu` tardi ti aiuto!

Aggiunto 6 ore 10 minuti più tardi:

Per il secondo problema:


Si assume che il foro sia di dimensione trascurabile (altrimenti il testo del problema dovrebbe dirlo esplicitamente), quindi la quantita` di liquido che esce e` piccola e la superficie libera dell'acqua non si abbassa sensibilmente.


Si applica la legge di Bernoulli tra il punto A (sulla superficie libera dell'acqua) ed il punto B (foro di uscita)

[math]p_A+\rho gH+\frac{1}{2}\rho v_A^2=
p_B+\rho g(H-h)+\frac{1}{2}\rho v_B^2[/math]

in questa formula le quantita` da definire sono:

[math]p_A=p_B=p_{atm}[/math]
cioe` la pressione atmosferica esterna
[math]v_A=0[/math]
perche' la superficie dell'acqua non si abbassa, quindi l'acqua li` e` ferma
[math]v_B[/math]
e` la velocita` di efflusso dell'acqua ed e` l'incognita, che possiamo ricavare da qui:

[math]p_{atm}+\rho gH=p_{atm}+\rho g(H-h)+\frac{1}{2}\rho v_B^2[/math]

[math] gH=g(H-h)+\frac{1}{2} v_B^2[/math]

[math]v_B^2=2gh[/math]

[math]v_B=\sqrt{2gh}[/math]


Per stabilire a che distanza cada il getto si deve studiare il moto di caduta libera:

[math]v_x=v_B=[/math]
costante
[math]v_y=-gt[/math]

[math]x=v_B t[/math]

[math]y=H-h-\frac{1}{2}gt^2[/math]

Il getto tocca terra quando
[math]y=0[/math]
cioe`
[math]\frac{1}{2}gt^2=H-h[/math]
e questo avviente al tempo
[math]t_1[/math]
:
[math]t_1=\sqrt{\frac{2}{g}(H-h)}[/math]

e la distanza x corrispondente e`:

[math]x=x(t_1)=v_B t_1=
\sqrt{2gh} \sqrt{\frac{2}{g}(H-h)}=2\sqrt{h(H-h)}
[/math]



Nella seconda parte si chiede a che profondita` h' si deve fare il buco per avere la stessa gittata. Possiamo utiilzzare le stesse formule:

la gittata ora sara` :

[math]x'=2\sqrt{h'(H-h')}[/math]
e deve essere uguale a
[math]x=2\sqrt{h(H-h)}[/math]

cioe`

[math]\sqrt{h'(H-h')}=\sqrt{h(H-h)}[/math]

[math]{h'}^2-Hh'+h(H-h)=0[/math]

che e` un'equazione di secondo grado nell'incognita h'. Risolvendola si trovano le due soluzioni

[math]h'=h[/math]
(banale... e` lo stesso buco di prima!)
[math]h'=H-h[/math]
che e` la profondita` del secondo buco.
anto.defa92
anto.defa92 - Ominide - 13 Punti
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Allora, sono riuscito ad arrivare alla soluzione per quanto riguarda due dei 3 problemi: il 2° (quello dell'altezza del foro) e quello della densità, che correttamente dicevi che si sarebbe posizionato a metà del liquido(quindi a 1m di profondità, in quanto l'altezza totale dei liquidi è di 2m).
Non riesco arrivare a una soluzione per quanto riguarda quello del lavoro invece...se come dici te la S=pi*R^2 e la sostituisco per calcolare il lavoro così: W1=1/2*rho*g*(pi*R^2)*h,e se considero inizialmente solo le unità di misura, vedo che alla fine trovo 1kg*m/s^2, cioè 1N e non 1J,quindi c'è qualcosa che non quadra..non è che la Superficie sia S=pi*R^2*h e che quindi quando vado a sostituire nella W1, l'h sia al quadrato?
mc2
mc2 - Genius - 14197 Punti
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La superficie della base e`
[math] S=\pi*R^2[/math]
e basta! se ci metti un'altra h, prova a fare lo stesso ragionamento con le unita` di misura e vedi che non ti viene un'area ma un volume!
Il lavoro W1 invece contiene una h^2 che viene dall'integrazione (non dall'area!)


Si fa cosi`:

Se la parte immersa del cilindro ha altezza x, la forza che bisogna esercitare per spingerlo giu` e`:

[math]F(x)=S\rho g x[/math]

ed il lavoro infinitesimo per immergerlo di un tratto dx e` dW:

[math]dW=F(x)\,dx=S\rho g xdx[/math]

Per calcolare il lavoro per immergere completamente il cilindro bisogna sommare tutti i lavori infinitesimi:

[math]W_1=\int_0^h dW=\int_0^h S\rho g xdx=\frac{1}{2}S\rho g h^2 [/math]


come vedi h^2 viene dall'integrale su x, non dall'area!

Per la seconda parte invece la forza e` costante e il lavoro si ottiene semplicemente moltiplicando per d, ed e` il W2 che hai scritto sopra.


Mettendoci i numeri viene:

[math]W_1=0.0347 ~J[/math]

[math]W_2=0.0925 ~J[/math]

[math]W=W_1+W_2=0.127~J[/math]
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