• Fisica
  • Rimpallo proiettile tra molle

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mimm8
mimm8 - Habilis - 173 Punti
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Ciao :hi incontro delle difficoltà con questo esercizio:



Due molle ideali identiche con costante elastica k (come in figura) sono dotate di stantuffi di massa m. quando le molle non sono deformate, la distanza tra gli stantuffi è d. Inizialmente la molla a sinistra è compressa di una lunghezza A e un proiettile di massa M, semplicemente appoggiato alla molla, è tenuto fermo con la mano. Il proiettile è quindi lasciato: viene lanciato dalla molla compressa e scivola senza attrito verso la molla a destra che si comprimerà fino a rispedire il proiettile verso sinistra, il proiettile viene quindi rimpallato tra le due molle.
Trascurando la massa degli stantuffi, si determini il tempo di un ciclo di rimpallo (si supponga che, durante il moto libero del proiettile dopo il distacco da una molla, la molla venga fermata con la mano.)
(N.B. dovete includere il tempo per le fasi di accelerazioni del proiettile).

Grazie.
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Ricordando che il periodo, ossia il tempo per compiere un'oscillazione, di
un oscillatore armonico ad un grado di libertà è pari a
[math]T = 2\,\pi\,\sqrt{\frac{M}{k}}[/math]
,
con
[math]M[/math]
la massa del corpo e
[math]k[/math]
la rigidezza della molla, nel caso in og-
getto il proiettile percorre innanzitutto un tratto
[math]A[/math]
in un tempo pari a
[math]\small \frac{1}{4}\,T\\[/math]
.
Dato che non vi sono forze dissipative possiamo applicare il principio di
conservazione dell'energia meccanica totale:
[math]\frac{1}{2}\,k\,A^2 = \frac{1}{2}\,M\,v^2[/math]
otte-
nendo
[math]\small v = \sqrt{\frac{k}{M}}\,A[/math]
. Dunque, tale corpo procede in moto rettilineo uni-
forme per un tratto
[math]d[/math]
nel tempo
[math]\frac{d}{v}[/math]
, decelera e accelera percorrendo
un tratto
[math]2\,A[/math]
nel tempo
[math]\frac{1}{2}\,T[/math]
, quindi ripercorre il tratto
[math]d[/math]
nel tempo
[math]\frac{d}{v}[/math]
ed infine un tratto lungo
[math]A[/math]
nel tempo
[math]\frac{1}{4}\,T[/math]
, giungendo di nuovo
nel punto iniziale. In definitiva, il tempo di un ciclo di rimpallo è pari a:

[math]t_r = \frac{1}{4}\,T + \frac{d}{v} + \frac{1}{2}\,T + \frac{d}{v} + \frac{1}{4}\,T = 2\left(\pi + \frac{d}{A}\right)\sqrt{\frac{M}{k}}\\[/math]
.
Spero sia sufficientemente chiaro. ;)
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