• Fisica
  • Rendimento di un ciclo (calore specifico a pressione costante in funzione della temperatura)

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rino.f.95
rino.f.95 - Erectus - 65 Punti
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Ciao, ho un problema con un esercizio in cui mi dice di calcolare il rendimento di un ciclo con un calore specifico a pressione costante che varia in funzione della temperatura.

ecco il testo:

Una mole di gas perfetto monoatomico, in equilibrio nello stato termodinamico 1, compie una trasformazione isocora fino a
[math] T_{2} [/math]
, realizzata ponendo il gas a contatto con una sorgente alla temperatura
[math] T_{2} = 500K [/math]
. Successivamente, il gas compie una trasformazione isoterma reversibile fino a
[math] V_{3} = 4_{V2} [/math]
. Tramite una trasformazione isobara reversibile, il gas viene infine riportato nello stato 1. Sapendo che il calore specifico a pressione costante del gas può essere scritto come
[math] c_{p} = (3 + kT)R [/math]
, con
[math] k = 0.04K^-1 [/math]
, determinare tutti gli scambi energetici nelle varie trasformazioni ed il rendimento del ciclo.
Allora, il mio problema è relativo al calcolo degli scambi energetici della trasformazione
[math] 3 - 1 [/math]
;
Per il primo principio :

[math] Q_{3,1} = \Delta U_{3,1} + W_{3,1}[/math]

dove

[math] \Delta U_{3,1} = n c_{v}(T_{1} - T_{3}) [/math]

e

[math] W_{3,1} = P_{3}(V_{1} - V_{3}) = P_{1}(V_{1} - 4V_{1}) = -3P_{1} V_{1} = -3nRT_{1} [/math]

, ma poiché si ha che

[math] T_{3} = \frac{P_{3} V_{3}}{nR} = \frac{4 P_{1} V_{1}}{nR} = 4\frac{nRT_{1}}{nR} = 4T_{1} [/math]

e
[math] c_{v} = \frac{3}{2}R[/math]
perché il gas è monoatomico si ottiene
[math] \Delta U_{3,1} = n c_{v}(T_{1} - T_{3}) = -3nc_{v}T_{1} = -3nRT_{1}\frac{3}{2}[/math]

per cui

[math] \Delta U_{3,1} + W_{3,1} = -3nRT_{1}\frac{3}{2} = -3nRT_{1}\frac{3}{2} -3nRT_{1} = -3nRT_{1}\frac{5}{2} [/math]
.

Il calore
[math] Q_{3,1} [/math]
scambiato è dato dalla relazione
[math] Q_{3,1} = \int_{3}^{1}nc_{p}dT = \int_{3}^{1}n(3 + kT)RdT = 3nR\int_{3}^{1}dT + nkR\int_{3}^{1}TdT [/math]


[math] = 3nR(T_{1} - T_{3}) + nkR \frac{1}{2} (T_{1}^2 - T_{3}^2) [/math]


[math]= -9nRT_{1} - nkR\frac{15}{2}T_{1}^2 = -3nRT_{1}(3 + k \frac{5}{2} T_{1}) [/math]

Per cui, mettendo insieme le suddette relazioni ed il primo principio ottengo

[math] -3nRT_{1}(3 + k \frac{5}{2} T_{1}) = -3nRT_{1}\frac{5}{2} [/math]


[math] 3 + k \frac{5}{2} T_{1} = \frac{5}{2} [/math]


[math] k \frac{5}{2} T_{1} = - \frac{1}{2} [/math]


[math] T_{1} = -\frac{1}{5k} = -5kelvin [/math]

e cioè, la temperatura
[math] T_{1} [/math]
mi viene negativa, al che tutti gli scambi energetici mi vengono positivi... come faccio a calcolare il rendimento del ciclo visto che il calore ceduto è uguale a 0 ?
mc2
mc2 - Genius - 14197 Punti
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Attenzione: deve valere la relazione di Meyer
[math]c_p-c_v=R[/math]

quindi
[math]c_v=c_p-R=(2+kT)R[/math]

anche c_v dipende dalla temperatura!


Ho provato a fare i conti un po' in fretta, quindi (mi raccomando!) ricontrolla bene!


Innanzi tutto e` giusta la relazione tra le temperature:
[math]T_2=4T_1[/math]
, quindi
[math]T_1=125~K[/math]


Per la trasformazione isocora irreversibile 1->2 :

[math]Q_{12}=\int_1^2 nc_v\,dT=nR(\frac{3}{2}T_2+\frac{15}{32}kT_2^2)[/math]
(calore assorbito)

(lo so che scrivendo in funzione di T_1 viene piu` comodo... ma T_2 e` un dato del problema, invece T_1 e` un risultato. Quindi e` piu` "elegante" scrivere tutto in funzione di T_2. Ovviamente alla fine non cambia nulla!)

[math]W_{12}=0[/math]

[math]\Delta U_{12}=Q_{12}[/math]


Trasformazione isoterma 2->3 :

[math]\Delta U_{23}=0[/math]

[math]Q_{23}=W_{23}=\int_2^3 p\,dV=nRT_2\log 4[/math]
(calore assorbito)


Trasformazione isobara 3->1 :

[math]Q_{31}=\int_3^1 nc_p\,dT=-nR(\frac{9}{4}T_2+\frac{15}{32}kT_2^2)[/math]
(calore ceduto)

[math]W_{31}=-3nRT_1=-\frac{3}{4}nRT_2[/math]

si trova
[math]\Delta U_{31}=-\Delta U_{12}[/math]
il che e` un bene!

Il calore scambiato totale e`

[math]Q=Q_{12}+Q_{13}+Q_{23}=nRT_2\left(\log 4-\frac{3}{4}\right)[/math]

ed il rendimento e`

[math]\eta=\frac{Q}{Q_{12}+Q_{23}}=0.05[/math]


Qualche risultato mi sembra un po' strano, per cui ribadisco: ricontrolla!
rino.f.95
rino.f.95 - Erectus - 65 Punti
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Mea culpa pensavo che la relazione di Mayer valesse solo a calori specifici costanti, i calcoli sono corretti lo so per certo perché ho la soluzione dell'esercizio! Ti ringrazio infinitamente!
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