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  • Potenziale elettrostatico di sfera concentrica a conduttore cavo

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rino.f.95
rino.f.95 - Erectus - 85 Punti
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Salve, ho delle terribili lacune in materia di "potenziale elettrico" e di "differenza di potenziale elettrico" che il mio libro di Fisica 2 non è stato in grado di chiarire...

Un conduttore sferico di raggio

[math] R_{1} [/math]
è al centro di un conduttore sferico cavo di raggio
[math] R_{2} [/math]
e raggio esterno
[math] R_{3} [/math]
. Una carica +q è depositata sul conduttore interno. Calcolare campo e potenziale in funzione di r, distanza dal centro.

Dopo aver spiegato come le cariche si distribuiscono sulle varie superfici delle sfere per effetto dell'induzione completa, Il mio libro riassume il calcolo del potenziale, in funzione della coordinata r = "distanza dal centro", nel seguente modo:

1) caso

[math] 0 \leq R_{1} [/math]
:
[math] \frac{q}{4 \pi \epsilon _{0} R_{1}} - \frac{q}{4 \pi \epsilon _{0} R_{2}} + \frac{q}{4 \pi \epsilon _{0} R_{3}} = V_{1} [/math]

2) caso
[math] R_{1} \leq r \leq R_{2} [/math]
:
[math] \frac{q}{4 \pi \epsilon _{0} r} - \frac{q}{4 \pi \epsilon _{0} R_{2}} + \frac{q}{4 \pi \epsilon _{0} R_{3}}[/math]

3) caso
[math] R_{2} \leq r \leq R_{3} [/math]
:
[math] \frac{q}{4 \pi \epsilon _{0} r} - \frac{q}{4 \pi \epsilon _{0} r} + \frac{q}{4 \pi \epsilon _{0} R_{3}} = V_{2} [/math]

4) caso
[math] R_{3} \leq r [/math]
:
[math] \frac{q}{4 \pi \epsilon _{0} r} - \frac{q}{4 \pi \epsilon _{0} r} + \frac{q}{4 \pi \epsilon _{0} r} [/math]

Dalla teoria dei conduttori in equilibrio so che:
- il campo elettrico all'interno di un conduttore (cavo o non cavo) è nullo
- su ogni suo punto (sia esso nella sua stessa massa o all'interno della cavità) il potenziale è costante.
Ragionando in base a questi concetti ottengo gli stessi risultati del mio libro, cioè:

1) caso

[math] 0 \leq R_{1} [/math]
: il punto P sul quale voglio calcolare il potenziale si trova all'interno della sfera conduttrice di raggio R1. Poiché su ogni suo punto (sia all'interno che sulla superficie) il potenziale è costante, deduco che il potenziale al quale si trova questo punto è pari a
[math] \frac{q}{4 \pi \epsilon _{0} R_{1}} = V_{1} [/math]

2) caso
[math] R_{1} \leq r \leq R_{2} [/math]
: il campo esercitato dal conduttore 2 (quello cavo, di raggi R2 ed R3) è nullo sul punto P (che si trova alla distanza r <= R2, ovvero dentro la sua cavità), per cui l'unico campo elettrostatico in grado di generare un potenziale su tale punto è quello generato dalla sfera di raggio R1, alla distanza r, che vale
[math]\frac{q}{4 \pi \epsilon _{0} r}[/math]

3) caso
[math] R_{2} \leq r \leq R_{3} [/math]
: il punto P si trova preciso preciso in mezzo alle pareti del conduttore 2, a potenziale V2: il potenziale su quel punto vale proprio V2
4) caso
[math] R_{3} \leq r [/math]
: Il punto si trova totalmente fuori dalle pareti del conduttore 2: esso vede una sfera di raggio R3 avente carica q. Il potenziale vale
[math]\frac{q}{4 \pi \epsilon _{0} r}[/math]
.


In sostanza non riesco nella maniera più assoluta a capire su quale principio il libro si basa per i calcoli dei vari casi (che io invece ho saputo risolvere solo "a parole";) ). Vi sarei davvero grato se mi spiegaste a come si arriva a quei passaggi!!


Un altro dubbio cruciale:
le quantità

[math] \frac{q}{4 \pi \epsilon _{0} R_{2}} [/math]
e
[math] \frac{q}{4 \pi \epsilon _{0} R_{3}} [/math]
, visto che rappresentano rispettivamente il potenziale della superficie sferica di raggio R2 e quello della superficie sferica di raggio R3, che fanno parte di uno stesso conduttore, sono uguali ?
Ovvero, la quantità
[math] - \frac{q}{4 \pi \epsilon _{0} R_{2}} + \frac{q}{4 \pi \epsilon _{0} R_{3}} [/math]
è uguale a zero oppure diversa da zero?

Aggiunto dopo miglior risposta:
Quello che mi hai spiegato è tutto quello che volevo sapere! Non sai quanto mi hai aiutato grazie mille!!!!!!!!

mc2
mc2 - Genius - 16260 Punti
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Nella tua spiegazione fai un po' di confusione tra potenziale e campo elettrostatico. Ricorda che vale

[math]\vec{E}=-\nabla V[/math]

Detto questo, i risultati del tuo libro sono giusti, quelli del tuo ragionamento non proprio.


E` vero quello che dici:

- il campo elettrico all'interno di un conduttore (cavo o non cavo) è nullo
- su ogni suo punto (sia esso nella sua stessa massa o all'interno della cavità) il potenziale è costante.

e fin qui ci siamo. Devi poi ricordare che il potenziale e` sempre definito a meno di una costante arbitraria.


Poi il ragionamento da seguire e` (le varie C sono costanti additive arbitrarie):


[math]\bullet r < R_1[/math]
potenziale costante :
[math]V(r)=C_1[/math]

[math]\bullet R_1 \le r < R_2[/math]
:
[math]V(r)=C_2+\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}[/math]

[math]\bullet R_2 \le r < R_3[/math]
:
[math]V(r)=C_3+\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}-\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}=C_3[/math]

[math]\bullet r \ge R_3[/math]
:
[math]V(r)=C_4+\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}-\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}+\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}=C_4+\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}[/math]

Ora si calcolano le varie C imponendo la continuita` del potenziale sulle varie superfici.

Per esempio per r=R_3:

[math]V(R_3^-)=V(R_3^+)\\
C_3=C_4+\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R_3}
[/math]

e cosi` trovi C_3 in funzione di C_4.

Allo stesso modo trovi C_2 e C_1 in funzione di C_4.

A questo punto ti resta un'unica costante additiva arbitraria (C_4) che puoi scegliere in modo arbitrario, e poni C_4=0.


Per l'ultima tua domanda: come fa la quantita`

[math]\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R_3}-\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R_2}[/math]
ad essere uguale a zero se i due raggi sono diversi???? Su dai....


Fai i calcoli con le formule corrette e vedrai che V(R_2)=V(R_3) come deve essere

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