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  • Oscillazioni su piano inclinato e masse collegate

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rino.f.95
rino.f.95 - Erectus - 65 Punti
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Salve ho un altro problema sulle oscillazioni, potreste aiutarmi?

Ho già scritto le equazioni di newton con cui mi ricavo la relativa equazione differenziale del moto armonico:

[math](m2g - m1gsinθ + kx0)/(m1+m2) -(k/(m1+m2)) * x(t) =[/math]
[math]-(k/(m1+m2)) * x(t) + C[/math]

e a questo punto mi ricavo la costante C dell'equazione generica

[math](d^2x(t)/dt^2) + ω0 * x(t) = C[/math]

che ha soluzioni generali

[math]x(t) = C/ω0^2 + Asin(ω0t + Φ)[/math]

con

[math]ω0^2 = k/(m1+m2)[/math]

e

[math]v0 = v(0) = ω0AcosΦ[/math]

ma è proprio qui che c'è l'intoppo: come faccio a ricavare

[math]x0[/math]
dato che non mi viene data nessuna indicazione sulle condizioni iniziali fra i dati del problema??
mc2
mc2 - Genius - 14190 Punti
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Non capisco come hai scritto l'equazione differenziale.

Secondo me dovrebbe essere (x=posizione della massa m_1) :

[math](m_1+m_2)\ddot{x}+kx=m_1g\sin\theta-m_2g[/math]

Adesso non ho tempo di scrivere, ci risentiamo piu` avanti.

Ciao
rino.f.95
rino.f.95 - Erectus - 65 Punti
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si è la stessa cosa, solo che al posto di
[math]x[/math]
io ho messo
[math]x(t)-x0[/math]
e che ho assunto come versore positivo quello della forza peso, ovvero, che
[math]m2g[/math]
punta verso la direzione positiva e che
[math]m1gsinθ[/math]
e
[math]k(x(t)-x0)[/math]
puntano nella direzione opposta:

[math]m2g - m1gsinθ -k(x(t)-x0) = (m1+m2)(d^2x(t)/dt^2)[/math]

Aggiunto 9 minuti più tardi:

e che ovviamente
[math]d^2x(t)/dt^2 = -ω0^2*x(t) + C = -(k/(m1+m2))*x(t)[/math]


Aggiunto 50 minuti più tardi:

comunque mi basta solo un suggerimento sul tipo di equazioni da utilizzare non che risolvi tutto il problema!
mc2
mc2 - Genius - 14190 Punti
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Ciao, ora non riesco a scrivere e spiegare bene. Lunedi ti mando una spiegazione piu esauriente.
Questo esercizio si presta ad una soluzione con il metodo lagrangiano (se l' hai già studiato)
rino.f.95
rino.f.95 - Erectus - 65 Punti
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Ho risolto!

1)
Metto a sistema le forze agenti in un tempo t generico:

[math]m2g - T = m2a(t)[/math]
[math]T - m1gsinθ - kx(t) = m1a(t)[/math]

ed esprimo la forza elastica come kx(t) poiché nel problema c'è scritto che "inizialmente il punto m2 è all’altezza h = 1m mentre il punto m1 si trova in quiete alla base del piano inclinato (molla a riposo)", ovvero, che all'istante t=0 quando il punto m2 si trova ad altezza h, di conseguenza il punto di massa m1 si trova alla base del piano inclinato ( e non come è rappresentato nella figura, dove il punto m2 è ad altezza h e la molla sembra avere già una lunghezza a riposo diversa da 0)

2)
Mi ricavo la relativa equazione differenziale:

[math]a(t) + [k/(m1+m2)]x(t) = (m2g - m1gsinθ)/(m1+m2)[/math]

e dopo aver posto

[math]a(t) = d^2x(t)/dt^2[/math]
,
[math]k/(m1+m2) = ω^2[/math]
,
[math](m2g - m1gsinθ)/(m1+m2) = C[/math]

ottengo:

[math]d^2x(t)/dt^2 + ω^2x(t) = C[/math]

3)
Dopo aver imposto le condizioni iniziali (cioè

[math]x(0) = 0[/math]
e
[math]v(0) = 0[/math]
) ottengo l'equazione della traiettoria del punto m1 sul piano inclinato descritta da:
[math]x(t) = (C/ω^2) * [1-cos(ωt)][/math]

e quindi:

a)
La quota del punto m2 dopo t=1s è data da:

[math]xm2(t) = h - x(t)[/math]
[math]= h - x(1s)[/math]
[math]= h - (C/ω^2) * [1-cos(ω)] = 0.287m[/math]

b)
La quota minima raggiunta dal punto m2
(

[math]xm2(t) = h - x(t)[/math]
)

è raggiunta quando la quantità

[math]h - x(t)[/math]
è minima e cioè, quando
[math]x(t)[/math]
è massima:
[math]x(t)max: dx(t)/dt = 0 <--> v(t) = 0[/math]
[math]<--> (c/ω^2)*[ωsin(ωt)] = 0[/math]
[math]<--> sin(ωt) = 0[/math]
[math]<--> ωt = π[/math]
[math]<--> t = π/ω[/math]

e quindi:

[math]xm2(t)min = h - x(t)max[/math]
[math]= h - x(π/ω)[/math]
[math]= h - (C/ω^2) * [1-cos(ωπ/ω)] = 0.183m[/math]

c)
Dalle equazioni di newton si ricava

[math]T(x(t))[/math]
, ovvero,
la tensione in funzione dell'allungamento della molla:


[math](m2g - T)/m2 = [T - m1gsinθ - kx(t)]/m1[/math]
[math]--> T(x(t)) = m1m2g(1+sinθ)/(m1+m2) + [m2/(m1+m2)]*kx(t)[/math]


e da ciò si evince che:

[math]Tmax = T(x(t)max)[/math]
[math]x(t)max: t = π/ω[/math]

(ovvero l'istante ,che avevamo trovato nel punto precedente, in cui l'allungamento della molla è massimo)


[math]Tmin = T(0)[/math]

(ovvero, la tensione è massima nel momento in cui la forza elastica si annulla)


per cui:

[math]Tmax = T(x(t)max) = T(x(π/ω)) = 47.82N[/math]
[math]Tmin = T(0) = m1m2g(1+sinθ)/(m1+m2) = 11.04N[/math]
mc2
mc2 - Genius - 14190 Punti
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La tua soluzione e` perfetta.
Io avevo scritto dei segni sbagliati nella mia equazione ma tu non sei caduto nel trabocchetto!
Scherzo... avevo scritto in fretta e senza controllare per cui mi sono scappati i segni. Ma i tuoi sono giusti!

Una piccola osservazione: l'ultimo punto si risolve un po' piu` velocemente se ricavi T dall'equazione per m_2:
[math]T=m_2(g-a(t))[/math]
ma ovviamente il risultato e` identico.
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