• Fisica
  • OSCILLATORE ARMONICO (Problema di fisica)

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rino.f.95
rino.f.95 - Erectus - 65 Punti
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Un punto materiale si trova su una piattaforma orizzontale. Quest’ultima si muove lungo un asse verticale con moto armonico di equazione z(t) = z0 sin(ω t), dove ω = 2rad/s. Sapendo che la velocità iniziale della piattaforma è pari a v(0)= v0 =6m/s, determinare:
a) l’istante td e la quota zd in cui il punto materiale si stacca dalla piattaforma;
b) l’equazione per calcolare l’istante t∗ in cui il punto materiale ricade sulla piattaforma (senza risolverla).

{a) td =0.479s, zd =2.45m;
b) z0 sin(ω t∗)= zd +vd(t∗−td)− 1 2 g(t∗−td)2 , vd = v(td)
(con metodi numerici si ricava t∗ =1.74s).}

Per favore potreste aiutarmi? Non riesco proprio a capire che significa trovare l'istante in cui il punto si stacca! ho provato a risolvere il primo punto pensando che ricavare v(t)=0 mi desse il tempo esatto in cui la piattaforma si blocca e il punto si stacca ma il risultato non combacia
mc2
mc2 - Genius - 14193 Punti
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Il punto si stacca dalla piattaforma PRIMA che questa si blocchi, ed esattamente nell'istante in cui la reazione vincolare della piattaforma si annulla.

Innanzi tutto ricaviamo velocita` e accelerazione della piattaforma:

[math]v(t)=z_0\omega\cos(\omega t)[/math]

[math]a(t)=-z_0\omega^2\sin(\omega t)[/math]

Dall'informazione sulla velocita` iniziale ricaviamo:
[math]v_0=z_0\omega=6~m/s[/math]
e quindi
[math]z_0=v_0/\omega=3~m.[/math]

In ogni istante in cui il corpo e` a contatto della piattaforma, su di esso agiscono due forze: la forza peso mg (verso il basso) e la reazione vincolare della piattaforma N (verso l'alto). Siccome il corpo si muove insieme alla piattaforma (prima che si stacchi, ovviamente), la sua accelerazione e` la stessa della piattaforma:
[math]a(t)=\frac{d^2z}{dt^2}=-z_0\omega^2\sin(\omega t)[/math]

In ogni istante deve valere la legge di Newton:
[math]ma(t)=-mg+N(t)[/math]

da cui si ricava la reazione vincolare:
[math]N(t)=m(g+a(t))=m(g-z_0\omega^2\sin(\omega t))[/math]

Ovviamente anche la reazione vincolare dipende dal tempo, finche' essa e` positiva, vuol dire che la piattaforma deve sostenere il corpo (per contrastare la gravita`). Ma quando N(t) e` negativa vuole dire che la piattaforma dovrebbe trattenere il corpo per mantenerlo a contatto! Questo e` impossibile: quindi il contatto cessa (cioe` il corpo si stacca) nell'istante
[math]t_d[/math]
in cui
[math]N(t_d)=0[/math]
.
Detto in modo intuitivo: quando la piattaforma risale rallentando anche il corpo rallenta, ma se il rallentamento della piattaforma e` piu` rapido di quello della gravita`, il corpo si stacca e prosegue con un moto di salita e discesa in un campo gravitazionale costante.

Dall'equazione precedente, ponendo N(t_d)=0 :

[math]\sin(\omega t_d)=\frac{g}{z_0\omega^2}=\frac{g}{v_0\omega}=0.817[/math]

[math]t_d=\frac{1}{\omega}\mbox{arcsin}(0.817)=0.478~s[/math]

[math]z_d=z_0\cdot 0.817=2.45~m.[/math]

La velocita` del corpo al momento del distacco e`
[math]v_d=z_0\omega \cos(\omega t_d)[/math]

Dal momento del distacco in poi, il corpo prosegue con un moto di caduta libera:

[math]z_c(t)=z_d+v_d(t-t_d)-\frac{1}{2}g(t-t_d)^2[/math]

La piattaforma invece prosegue indisturbata la sua oscillazione:
[math]z(t)=z_0\sin(\omega t)[/math]

Il corpo ricadra` sulla piattaforma nell'istante
[math]t^*[/math]
tale che
[math]z(t^*)=z_c(t^*)[/math]
rino.f.95
rino.f.95 - Erectus - 65 Punti
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Grazie mille non ci sarei mai arrivato da solo!
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