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  • Massa che scorre sopra un carrello con molla al suo estremo

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Fabien
Fabien - Erectus - 148 Punti
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Ciao.
Sto provando a svolgere questo esercizio, il testo è questo:

Una massa

[math]m=400 g[/math]
viene lanciata con velocità
[math]v_0[/math]
sul piano mobile di massa
[math]M = 4 \ kg[/math]
.
La massa
[math]m[/math]
urta una molla di costante elastica
[math]k=2500 \ \frac{N}{m}[/math]
attaccata ad un'estremità del piano.
La distanza della molla dal bordo del piano è lunga
[math]d = 2 \ m[/math]
.
Sapendo che la compressione massima della molla è
[math]x_{max}=24 \ cm[/math]
e che tutti i piani sono senza attrito, determinare:
a) le velocità delle due masse quando si ha la massima compressione della molla;
b) la velocità delle due masse nell'istante in cui la massa
[math]m[/math]
lascia la molla;
c) il tempo impiegato dalla massa
[math]m[/math]
a cadere dalla massa
[math]M[/math]
dopo che
[math]m[/math]
ha lasciato la molla.
-----------
Ho provato a risolvere in questo modo poi non so se va bene:
a) Posso utilizzare la conservazione dell'energia meccanica e la conservazione della quantità di moto.
Il mio ragionamento è che prima della compressione della molla ho solo energia cinetica della massa
[math]m[/math]
. Dal momento in cui la massa
[math]m[/math]
comprime la molla, comincia a muoversi la massa
[math]M[/math]
e alla massima compressione ho sia energia potenziale elastica che energia cinetica costituita da un unico corpo che si muove con velocità del centro di massa. In tale istante cioè sia
[math]m[/math]
che
[math]M[/math]
hanno istantaneamente la stessa velocità pari a quella del centro di massa.
Scrivo il sistema:
[math]\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}kx^2_{max}+\frac{1}{2}(M+m)v_{cm}^2\\mv_0=(M+m)v_{cm} \end{matrix}\right.[/math]

b) Nota la velocità del centro di massa scrivo le due equazioni:
[math]\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}mv_m^2+\frac{1}{2}Mv_M^2=\frac{1}{2}kx^2_{max}+\frac{1}{2}(M+m)v_{cm}^2\\mv_m+Mv_M=(M+m)v_{cm} \end{matrix}\right.[/math]

c) Ho pensato che essendo il sistema non inerziale, per il principio dei moti relativi
[math]v_m[/math]
è la velocità relativa al piano mobile
[math]M[/math]
e
[math]v_M[/math]
la velocità di trascinamento e sono già calcolati al punto b). Dopo che la massa
[math]m[/math]
ha lasciato la molla, il tempo che la massa
[math]m[/math]
percorre dal punto in cui lascia la molla fino ad arrivare all'estremo del piano mobile è pari al tempo che impiega il piano mobile a percorrere la distanza
[math]d=2 \ m[/math]
, poi dovrei aggiungere il tempo di caduta dal bordo sinistro fino al suolo. Non so se il ragionamento che ho fatto sia giusto.
mc2
mc2 - Genius - 14257 Punti
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L'energia potenziale elastica e`

[math]\frac{1}{2}kx^2[/math]
!!! spero che sia solo un errore di LaTeX...
Per il punto c: le velocita` che hai calcolato sono quelle "assolute", cioe` relative al pavimento. Non hai tenuto conto infatti delle forze apparenti, quindi hai risolto il problema nel sistema inerziale del pavimento.

Per risolvere il punto b ti conviene porti nel sistema solidale con il carrello (che si muove con velocita` costante dopo che m si e` staccata dalla molla!), in cui la velocita` di m e`

[math]v'=v_m+v_M[/math]
. Il tempo impiegato a cadere dal carrello e` semplicemente d/v'.
Il testo del problema ti chiede solo questo, non ti chiede il tempo impiegato per cadere al suolo (anche perche' non lo puoi calcolare: non e` nota l'altezza del carrrello!)
Fabien
Fabien - Erectus - 148 Punti
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Ho sbagliato a trascrivere, un errore di LaTex...

Quindi i punti a) e b) sono corretti nel sistema di riferimento fisso.

Riporto per correttezza i risultati numerici: nel punto a)

[math]v_0=19.9 \ \frac{m}{s} \quad v_{cm}=v=V=1.81 \ \frac{m}{s}[/math]

dove
[math]v[/math]
è la velocità della massa
[math]m[/math]
e
[math]V[/math]
la velocità
[math]M[/math]
nel sistema di riferimento fisso.
Nel punto b), sempre nel sistema di riferimento fisso:
[math]v_m=-16.28 \ \frac{m}{s} \quad v_M=3.62 \ \frac{m}{s}[/math]

c) Il tempo che impiega la massa
[math]m[/math]
a cadere dalla massa
[math]M[/math]
dopo che m ha lasciato la molla è
[math]t=\frac{d}{v'}=\frac{d}{v_m+v_M}=0.158 \ s[/math]

se oriento il moto di
[math]m[/math]
con asse
[math]x[/math]
verso destra.
Se dovrei considerare, come alternativa il sistema di riferimento mobile nel punto b), è possibile che k sia diverso da quello calcolato nel sistema di riferimento fisso?
mc2
mc2 - Genius - 14257 Punti
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Non ho rifatto i conti numerici, ma il procedimento e` giusto.

Non capisco la domanda finale.
Ma in ogni caso non ti consiglio di risolvere il punto b nel sistema del carrello.

Fabien
Fabien - Erectus - 148 Punti
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Mi spiego meglio, se al punto b) cambio il sistema di riferimento del carrello per ottenere lo stesso risultato delle velocità, può essere che il valore della costante elastica cambia rispetto a quella data dal testo?
In questo caso ho tentato calcolando la 2a di Newton alla massa

[math]m[/math]
e
[math]M[/math]
:
[math]F_m=-kx_{max}=ma_m[/math]
.
[math]F_M=kx_{max}=ma_M[/math]
.
Dal principio di azione e reazione
[math]F_m=-F_M[/math]

Note le accelerazioni
[math]a_m[/math]
e
[math]a_M[/math]
, dal principio dei moti relativi calcolo l'accelerazione di
[math]m[/math]
rispetto a
[math]M[/math]

[math]a_{m,rel}=a_m-a_M=-\frac{m+M}{mM}kx_{max}[/math]

La forza elastica nel sistema di riferimento mobile diventa
[math]F_{el,r}=ma_{m,rel}=-\frac{m+M}{M}kx_{max}=k'x_{max}[/math]

quindi si è modificata la costante elastica
[math]k'=\frac{m+M}{M}k=2750 \ \frac{N}{m}[/math]

Ora per ottenere le velocità riapplico la conservazione dell'energia meccanica nel sistema di riferimento del carrello
[math]\frac{1}{2}k'x^2_{max}=\frac{1}{2}mv^2_{m,rel}[/math]

Non so se va bene ma questa era l'idea della domanda, è più semplice procedere nel sistema di riferimento fisso ma volevo capire come procedere se ci si mette nel sistema di riferimento mobile.
mc2
mc2 - Genius - 14257 Punti
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La costante elastica e` una proprieta` intrinseca della molla , e non ha senso che cambi dal un sistema di riferimento all'altro.
Le equazioni che hai scritto tu non tengono conto della forza apparente che c'e` nel sistema non inerziale. In questo caso la forza apparente non e` nemmeno costante, quindi e` una grossa complicazione!

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