SpadaDiGomma
SpadaDiGomma - Erectus - 110 Punti
Salva
Due masse m1=4kg e m2=1kg, collegate dun filo inestenstensibile di massa trascurabile, sono disposte inizialmente in quiete. La distanza tra entrambe le due masse e il piano orizzontale è h=2m. Trascura gli attriti.
Considera l'istante in cui m1 tocca il piano. Calcola il tempo necessario affinché m2, nel suo moto libero di salita, arrivi alla massima quota.

La soluzione è 0.49s, ma a me non torna proprio. Temo di essere partito da qualche presupposto sbagliato, anche perché il testo difetta assai di chiarezza. Per esempio io considero entrambi i corpi con Vo all'iistante imiziale, e questo perché nelle prime righe sembrerebbe che sia m1 che m2 siano in quiete. Forse è qui l'errore? Mi aiutereste a risolverlo?

Aggiunto 8 minuti più tardi:

I corpi sono uno a destra ed uno a sinistra di una colonnina, sospesi nel vuoto poiché collegati da questo filo che scorre in una carrucola alla sommitá della colonna.

Questa risposta è stata cambiata da TeM (16-02-14 19:29, 3 anni 7 mesi 12 giorni )
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
Salva
Ma santo cielo, ragazzi, se invece di intestardirvi sulle formule cercaste di
ragionare sulla fisica del problema, non credete sia più istruttivo e semplice?

Infatti, in questo caso abbiamo una fune di massa trascurabile ed inestensibile
appesa ad una carrucola (che la si può pensare incernierata in un muro) ai cui
estremi sono collegati due corpi di massa
[math]m_1=4\,kg[/math]
ed
[math]m_2=1\,kg[/math]
.
Il tutto è da considerasi all'istante in cui entrambe le masse sono in quiete e
distano da terra
[math]h=2\,m[/math]
. A quel punto, come natura vuole, il corpo con
massa maggiore accelererà verso terra mentre l'altro, collegato al corpo più
pesante tramite la fune, accelererà verso l'alto: l'accelerazione è la stessa (
[math]a\\[/math]
).
Disegnando l'utilissimo diagramma di corpo libero non è difficile convincersi
del fatto che valgono le seguenti:
[math]\begin{cases} m_1\,a = m_1\,g - T \\ m_2\,a = T - m_2\,g \end{cases}[/math]
da cui si ricava
[math]a = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}g[/math]
e volendo pure la tensione
[math]T[/math]
della fune che semplicemente
ai fini del problema non ci interessa.

Determinata l'accelerazione del sistema in questione non è difficile calcolare il tempo
[math]t^*[/math]
che impiega il corpo di massa maggiore a toccare il terreno, in quanto la legge
oraria del moto uniformemente accelerato ci dice che
[math]h = \frac{1}{2}a\,{t^*}^2[/math]
da cui
[math]t^* = \sqrt{\frac{2\,h}{a}}[/math]
. A questo punto, possiamo dunque calcolare la velocità acquisita in
tale tempo dal corpo di massa minore:
[math]v^* = a\,t^*\\[/math]
.
Siamo praticamente al traguardo. Infatti, da questo punto in poi sul corpo di massa
minore non agisce più la tensione della corda e quindi la forza a cui è sottoposto è
esclusivamente quella gravitazionale
. Non ci rimane che imporre velocità nulla quando
raggiunge la quota massima ed ottenere
[math]0 = v^* - g\,t \; \Leftrightarrow \; t = \frac{v^*}{g}\\[/math]
.
A conti fatti si ottiene
[math]t \approx 0.49\,s[/math]
. Spero sia chiaro. ;)
Anthrax606
Anthrax606 - VIP - 25050 Punti
Salva
Ciao Matt!
Parti, innanzitutto, con il presupposto di calcolarti l'energia potenziale delle due masse
[math]m_{1},m_{2}[/math]
, data dalla formula:

[math]m_{1}=m\cdot g\cdot h \Leftrightarrow 4kg\cdot 9,81m/s\cdot 2m=78,48J\\
m_{2}=1kg\cdot 9,81m/s\cdot 2m=19,62J [/math]


A questo punto, basterebbe riflettere e dedurre che i tempi, spazi e percorsi di caduta sono diversi e indipendenti dal valore della massa dei corpi. Dunque, applichiamo l'equazione di moto di libera caduta gravitazionale per ottenere il tempo
[math]t[/math]
. Successivamente calcoliamo la velocità
[math]v[/math]
di caduta della prima massa.

[math]t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot 2m}{9,81m/s}}=0,63s\\
v_{m_{1}}=\sqrt{2\cdot h\cdot g}=\sqrt{2\cdot 2m\cdot 9,81m/s}=6,26\frac{m}{s}[/math]


Il tempo di salita è dato dalla formula (più che altro dall'equazione), chiamando
[math]t^{s}[/math]
quest'ultimo:

[math]t^{s}=-\frac{1}{2}a\cdot t^{2}+Vo\cdot t \Rightarrow m_{1}=0,63s[/math]


A questo punto, l'unico dato che ci resta da ricavare è la velocità iniziale di salita della seconda massa, che sarà data dalla formula inversa:


[math]Vo=t\cdot g \\
\Rightarrow Vo=0,49s\cdot 9,81m/s\\
\Rightarrow Vo=4,8m[/math]


Dalla formula principale calcoliamo
[math]t[/math]
:

[math]t=\frac{4,8m}{9,81m/s}=0,49s[/math]
.
SpadaDiGomma
SpadaDiGomma - Erectus - 110 Punti
Salva
Aspetta, ci sono alcuni passaggi che mi rendono perplesso. All'inizio, quando calcoli l'energia potenziale di m1, la sua massa non è 1.4 kg, bensí 4. Ma questo influisce comunque poco sulla risoluzione del problema, visto che è superfluo come passaggio per la domanda che è posta. E poi,l'accelerazione di caduta non credo sia g, visto che la forza risultante sul sistena è la differenza tra la forza peso uno e la forza peso due. L'accelerazione sará quindi il rapporto tra quella forza risultante e la somma delle masse dei due corpi. Terza perplessitá è scaturita dal passaggio conclusivo, dove adoperi la formula inversa Vo=t*a; qui sostituisci al tempo il valore di 0.49 s, che salta fuori dal nulla, e che è addirittura il risultato del problema. Ci credo che poi, andando a riutilizzare la stessa formula torna a uscire quello stesso valore, presentato come soluzione.
Anthrax606
Anthrax606 - VIP - 25050 Punti
Salva
Ho fatto un po' di confusione con il risultato, proviamo ad eseguirlo in un altro modo.

[math]F=(m_{1}-m_{2})\cdot 9,81m/s^{2}\\
F=(4-1)kg\cdot 9,81m/s^{2}\\
F=3kg\cdot 9,81m/s^{2}\\
F=29,43N[/math]


Calcoliamo il valore della somma delle due masse (massa totale).

[math]m=m_{1}+m_{2}\\
m=(4+1)kg\\
m=5kg[/math]


Applichiamo la formula per calcolare l'accelerazione
[math]a[/math]
.
[math]a=\frac{F}{m}\\
a=\frac{30N}{5kg}\\
a=\frac{30(kg\cdot m)/s^{2}}{5kg}\\
a=6m/s^{2}[/math]


Riprendiamo la formula, scritta in precedenza, per calcolare il tempo. (Valgono le stesse condizioni scritte in quell'altra risoluzione).


[math]t=\sqrt{\frac{2h}{a}}=\sqrt{\frac{2\cdot 2m}{6m/s^{2}}} \approx 0,816s \approx 0,82s[/math]
.

Calcoliamo, dunque, la velocità della prima massa quando è in contatto con il suolo.

[math]v_{m_{1}}=a\cdot t\\
v_{m_{1}}=6m/s^{2} \cdot 0,82s\\
v_{m_{1}}=4,92m/s \to 4,90m/s[/math]


A questo punto, calcoliamo l'intervallo di massimo e minimo sull'incertezza della quota dell'altezza. [Questo passaggio puoi anche saltarlo].

[math]Δh(min)=\frac{(4,90m/s)^{2}}{2\cdot g}\\
Δh=\frac{24,01m^{2}/s^{2}}{2\cdot 9,81m/s^{2}}\\
Δh=2,45m[/math]



[math]Δh(max)=Δh(min)+h\\
Δh(max)=2,45m+2m\\
Δh(max)=4,45m[/math]



[math]h=]2,45m;4,45m[[/math]
.


Calcoliamo l'incertezza sul tempo per arrivare alla massima quota.

[math]Δt=\frac{Δv}{g}\\
Δt=\frac{4,90m/s}{9,81m/s^{2}}\\
Δt=0,499s[/math]


Effettuando meno approssimazioni si arriva proprio al risultato del libro.
SpadaDiGomma
SpadaDiGomma - Erectus - 110 Punti
Salva
24.01/(2*g) non fa 2.45 m.
E poi alla fine calcoli il tempo con g, perché? Tu stesso hai verificato poco prima che l'accelerazione sul sistema è circa 6m/s^2
Anthrax606
Anthrax606 - VIP - 25050 Punti
Salva
Matt, il denominatore senza il doppio, quindi:
[math]\frac{24,01m^{2}s^{2}}{9,81m/s^{2}} \approx 2,45m[/math]
.
Nico, hai ragione, mi son intestardito molto sulle formule, senza semplificare il problema con il tuo tipo di risoluzione. Bravo! :)
SpadaDiGomma
SpadaDiGomma - Erectus - 110 Punti
Salva
Tem assolutamente fantastico, grazie. Difatti il mio problema è principalmente stata l'interpretazione del testo, avevo proprio capito tutt'altro leggendo la domanda. Pensavo chiedesse il tempo totale che il corpo due impiega per sollevarsi di altri due metri, ma ora mi hai chiarito una volta per tutte la situazione. Alla radice dei miei errori vi era un'inconprensione del testo. Ancora grazie.

Aggiunto 13 minuti più tardi:

Volevo comunque chiedere una seconda cosa, sempre se non sono di troppo disturbo. Sarebbe possibile risoLre questo problema a livello energetico, secondo te?
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
Salva
Bene, sono contento che ci siamo capiti. :)

Ragionando in termini di energia occorre osservare che inizialmente entrambi
i corpi possiedono esclusivamente energia potenziale, mentre dal momento in
cui il sistema si mette in moto il primo corpo vedrà decurtata la propria energia
potenziale in favore della propria energia cinetica e analogamente il secondo corpo
vedrà incrementata la propria energia potenziale in favore della propria en. cinetica.

In matematichese, il bilancio energetico valido punto per punto dal momento
in cui il sistema si mette in moto
è il seguente:
[math]U_1 - K_1 = U_2 + K_2[/math]
.
In particolare, considerando l'istante in cui il primo corpo tocca terra si ha
[math]m_1\,g\,h - \frac{1}{2}m_1\,{v^*}^2 = m_2\,g\,h + \frac{1}{2}m_2\,{v^*}^2[/math]
, dove faccio notare che
la velocità
[math]v^*[/math]
è la stessa per le stesse ragioni per cui nel ragionamento fatto
sopra lo era l'accelerazione
[math]a\\[/math]
.
Non rimane che risolvere l'equazioncina per ricavare l'incognita
[math]v^*[/math]
e finendo
ragionando come sopra si ottiene chiaramente il medesimo risultato, ossia
[math]t = \sqrt{\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\frac{2\,h}{g}}\\[/math]
.
Ok? :)
SpadaDiGomma
SpadaDiGomma - Erectus - 110 Punti
Salva
Perfetto
Questo topic è bloccato, non sono ammesse altre risposte.
Come guadagno Punti nel Forum? Leggi la guida completa
In evidenza
Classifica Mensile
Vincitori di agosto
Vincitori di agosto

Come partecipare? | Classifica Community

Community Live

Partecipa alla Community e scala la classifica

Vai al Forum | Invia appunti | Vai alla classifica

Gioinuso

Gioinuso Geek 155 Punti

VIP
Registrati via email