• Fisica
  • Linea Elastica alla Eulero-Bernoulli (1)

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dribusen
dribusen - Habilis - 175 Punti
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Salve a tutti, spero che l'allegato si legga bene.
ho questo quesito:
nella seguente struttura devo calcolare l'equazione della linea elastica.
siccome è composta da due parti ho deciso di suddividerla in due parti (da A a C e da C a B)
ditemi se sbaglio: ho scritto l'equazione della linea elastica con le incognite di integrazione:

da A a C

[math]v^{4}(z)= 0[/math]

[math]v{3}(z)= C_{1}[/math]

[math]v^{2}(z)= C_{1}z+C_{2}[/math]

[math]v^{1}(z)=C_{1}\frac{z^{2}}{2}+C_{2}z+C_{3}[/math]

[math]v(z)=C_{1}\frac{z^{3}}{6}+C_{2}\frac{z^{2}}{2}+C_{3}z+C_{4}[/math]

da C a B

[math]v^{4}(z)=\frac{P}{EI}[/math]

[math]v^{3}(z)=\frac{P}{EI}z+D_{1}[/math]

[math]v^{2}(z)=\frac{P}{EI}\frac{z^{2}}{2}+D_{1}z+D_{2}[/math]

[math]v^{1}(z)=\frac{P}{EI}\frac{z^{3}}{6}+D_{1}\frac{z^{2}}{2}+D_{2}z+D_{3}[/math]

[math]v(z)=\frac{P}{EI}\frac{z^{4}}{24}+D_{1}\frac{z^{3}}{6}+D_{2}\frac{z^{2}}{2}+D_{3}z+D_{4}[/math]

ecco, a questo punto ho scritto le condizioni al contorno, ed è proprio qui che ho un dubbio. io ho scritto cosi:

tratto A-C

[math]v(A)=0 [/math]
[math] M(A)=0[/math]

[math]v_{1}(l)=v_{2}(l)[/math]
[math] \varphi_{1}(l)=\varphi_{2}(l)[/math]

tratto C-B

[math]V(B)=0 [/math]
[math]\varphi(B)=0[/math]

[math]M^{-}(l)=M^{+}(l)[/math]

[math]T^{-}(l)=T^{+}(l)[/math]

è proprio di questa ultima condizione al contorno che ho un dubbio. perchè su internet su vari testi e tabelle ho letto che se ce una forza concentrata nel punto allora nel taglio di destra devo aggiungere anche la forza perchè nel diagramma del taglio ci sarà un salto. però in presenza di un carico distribuito mi devo comportare come ho fatto io oppure devo aggiungere anche il carico? e se si in quale modo?
spero di essere stato chiaro e scusate se ho scritto tutte le equazioni ma non sapevo come spiegarmi.
grazie mille a tutti:):)

Disegno1-Model.pdf (5,6 kB, 55 Downloads)

Questa risposta è stata cambiata da TeM (04-10-15 12:10, 1 anno 11 mesi 23 giorni )
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Sbirciando nel tuo profilo mi sono accorto di quest'altra tua richiesta che
un mese fa avevi posto nella sezione "Matematica-Università" che non es-
sendo solitamente frequentata da ingegneri era quasi ovvio non ricevesse
risposta; per questo ora l'ho spostata e riaperta nella sezione "Fisica".


Dunque, data la seguente struttura inflessa:


ricordando che una volta scelte delle terne destrose (come mostrato in figura),
secondo il modello di trave alla Eulero-Bernoulli, valgono le seguenti relazioni:

[math]\small v'(z) = - \phi(z) \,, \; \; \; v''(z) = - \left( \frac{M(z)}{E\,J} \pm \frac{2\,\alpha\,\Delta T}{h} \right) \,, \; \; v'''(z) = - \frac{T(z)}{E\,J} \,, \; \; \; v^{iv}(z) = \frac{q(z)}{E\,J} \,,\\[/math]
nel caso in oggetto, per
[math]0 \le z \le L\\[/math]
, il sistema di ODE risolvente è:
[math]
\begin{cases}
v_1^{iv}(z) = \frac{q}{E\,J} \\
v_2^{iv}(z) = 0 \\
v_1(0) = v_2(L) = 0 \\
v_1(L) = v_2(0) \\
v_1'(0) = 0 \\
v_1'(L) = v_2'(0) \\
v_1''(L) = v_2''(0) \\
v_2''(L) = 0 \\
v_1'''(L) = v_2'''(0)
\end{cases}\\
[/math]
il quale porge le seguenti equazioni delle linee elastiche dei due campi:

[math]
\begin{cases}
v_1(z) = \frac{q}{384\,E\,J}\,z^2\left(54\,L^2 - 57\,L\,z + 16\,z^2\right) \\
v_2(z) = \frac{q}{384\,E\,J}\,L\,(L - z)\left(13\,L^2 + 14\,L\,z - 7\,z^2\right)
\end{cases} \; . \\
[/math]

A questo punto siamo in grado di calcolare qualsivoglia quantità legata a tale
struttura, eccetto lo sforzo normale che comunque sia, nel caso in oggetto, è
ovunque identicamente nullo (banale).

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)
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