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a4321
a4321 - Sapiens Sapiens - 837 Punti
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Buongiorno vorrei sapere cortesemente se ci sono applicazioni (abbastanza "semplici" comprensibili da un comun mortale) dei limiti in Fisica; ho letto che la velocità è un limite, che significa, come faccio a "dimostrarlo" con le formule? Inoltre cisono quali concetti di Termodinamica o di Elettrostatica che si possono esprimere con i limiti?
Grazie infinite
TeM
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CENNI STORICI SUL CALCOLO DIFFERENZIALE E INTEGRALE
tratti da: G.E.Silov - analisi matematica - funzioni di una variabile


La prima definizione corretta di limite di una funzione numerica è stata data da Cauchy nel suo Cours d'analyse algebrique (1821). Cauchy stabilì i teoremi fondamentali sull'esistenza di limiti di vario genere, in particolare di limiti delle funzioni e delle successioni monotone. Fu sempre egli ad introdurre i concetti di limite superiore ed inferiore. I concetti più generali di limite, invece, sono proposti da Shatunovskij (1923), Moore e Smith (1923).


La prima definizione corretta di continuità di una funzione di variabile reale è stata data da Bolzano (1817) e dopo da Cauchy (1821). Tutti e due i matematici stabilirono il teorema sul valore intermedio applicando il <<criterio di Cauchy>>. Il teorema su una funzione continua e limitata che raggiunge i suoi estremi superiore e inferiore su un compatto è stato dedotto (per un intervallo chiuso) da Weierstrass (attorno al 1860). Si devono ad Heine (1870) la definizione di continuità uniforme e il teorema sulle funzioni continue (per un intervallo chiuso).


Il calcolo differenziale (e il calcolo integrale) comparve nel secolo XVII; considerato dapprima sotto i suoi aspetti geometrico e cinematico in casi particolari da Fermat, Torricelli, Rolle, Barrow, esso fu formulato in modo generale alla fine del secolo da Newton e Leibniz (la prima pubblicazione di Leibniz su queste questioni risale al 1684, quella di Newton al 1687; cionondimeno, come si vede dal loro carteggio, tutti e due si impadronirono dei metodi del calcolo nuovo molto prima ancora). Fu Leibniz ad introdurre il simbolo di differenziale e la convenzione

[math]\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\\[/math]
per la derivata.
Newton, Leibniz e i suoi discepoli, soprattutto i fratelli Jacques e Jean Bernoulli, applicarono i metodi del calcolo differenziale a numerosi problemi di geometria, meccanica e fisica. Per le applicazioni fisiche, l'interpretazione della velocità di un movimento come derivata del cammino percorso rispetto al tempo ebbe un'importanza decisiva.

Il primo trattato di calcolo differenziale fu scritto <<nel 1691 - 1692 da Jean Bernoulli come manuale per un marchese che si mostrò buon allievo>> (Bourbaki). Questo marchese, Guillaume-François de L'Hôpital, pubblicò il suddetto trattato nel 1696, il che gli meritò un nome nella storia delle scienze. Forse sarebbe più corretto, dal punto di vista storico, chiamare le <<regole di L'Hôpital>> regole di Beronoulli.

La definizione rigorosa di derivata, basata sulla definizione di limite, è data soltanto da Cauchy (e prima di Cauchy, da L'Huillier (1786); ma l'opera di quest'ultimo, anche se premiata dall'Accademia delle scienze di Berlino, non arrivò a proposito e non ebbe continuazione); dall'epoca di Cauchy, <<l'esistenza della derivata, invece di essere un atto di fede, diventa una questione da studiare con i mezzi ordinari dell'analisi>> (Bourbaki).

Gli esempi di funzioni continue senza derivate sono forniti da Bolzano nel 1830 (opera pubblicata soltanto nel 1930) e da Weierstrass nel 1860 (opera pubblicata nel 1872). Quanto ai fondamenti dell'analisi, il corso di Weierstrass tenuto all'Università di Berlino costituisce la tappa successiva dopo l'opera di Cauchy.


Le derivate di ordine superiore comparvero contemporaneamente a tutto l'applicato del calcolo differenziale ed erano sistematicamente applicate da Newton e Leibniz (fine del secolo XVII) a problemi di geometria, meccanica e fisica. Quanto alle applicazioni di problemi meccanici, l'interpretazione dell'accelerazione di un movimento come derivata seconda del cammino percorso rispetto al tempo ebbe un'importanza essenziale; la legge fondamentale della meccanica (seconda legge di Newton) lega la forza agente su un corpo all'accelerazione causata dalla forza e dalla massa di questo corpo.

Le serie per delle funzioni elementari furono studiate da Newton e James Gregory negli anni 1660. Nel secolo seguente, Eulero estese queste serie al dominio complesso. L'opera di Taylor nella quale comparve la <<serie di Taylor>> risale al 1715; ma ancora prima, Newton e Leibniz avevano già realizzato delle costruzioni equivalenti. Nel corso di tutto il secolo XVIII i matematici affermarono - esplicitamente o implicitamente - che <<ogni funzione>> era sviluppabile in serie di Taylor; Cauchy fu il primo a stabilire le condizioni rigorose di convergenza di una serie di Taylor a una data funzione e a fare una netta distinzione fra la convergenza di questa serie in generale e la sua convergenza alla funzione data (1823).

I problemi geometrici che, nel linguaggio moderno, si denotano con

[math]\int\limits_a^b f(x)\,\text{d}x[/math]
furono considerati già da Archimede. La creazione del calcolo integrale nel senso moderno, con le sue applicazioni geometriche e fisiche, risale al secolo XVII ed è dovuto soprattutto a Newton e Leibniz. Newton chiamò flussione una derivata e fluente una primitiva. I simboli
[math]\text{d}[/math]
e
[math]\int[/math]
, così come le regole di calcolo degli integrali indefiniti, appartengono a Leibniz. Gli integrali curvilinei sono comparsi per la prima volta nell'opera di Caliraut (1743).

La definizione rigorosa di integrale come limite delle somme integrali è stata data originariamente da Cauchy (1821). Data questa definizione, era finalmente possibile porre la questione dell'esistenza dell'integrale delle funzioni di questa o quella classe. Cauchy propose una dimostrazione dell'esistenza dell'integrale per una funzione continua; tuttavia, in assenza del concetto di continuità uniforme, la dimostrazione di Cauchy non era corretta.

La prima dimostrazione corretta dell'esistenza dell'integrale per una funzione continua fu data da Darboux (1875). Alcune condizioni necessarie e sufficienti di integrabilità di una funzione (discontinua) sono state fornite in forme diverse successivamente da Riemann, Du Bois-Reymond, Lebesgue nella seconda metà del secolo XIX.

Nel 1894 Stieltjes introdusse un nuovo concetto di integrale in relazione con alcuni problemi speciali; nel secolo XX questo concetto ebbe una larga applicazione anche a problemi di carattere generale. Nel 1902 Lebesgue formulò un nuovo concetto di integrale, più generale di quelli precedenti; nella matematica moderna questo concetto gioca un ruolo decisivo, in primo luogo, perché l'insieme delle funzioni integrabili nel senso di Lebesgue può essere considerato come uno spazio normalizzato completo; in secondo luogo, questo concetto permette di descrivere la classe di tutte le funzioni primitive in base alle loro proprietà intrinseche.


CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE

Dopo aver letto tutto il papiro è altamente probabile che la confusione sia molta, ma ciò che mi interessa è che sia chiaro che "lo studio dei limiti" costituisce la base di tutta la matematica moderna, dell'analisi matematica appunto, quindi se avete appena cominciato a trattarli è ovvio che non siano chiare moltissime cose, dato che quelle se vengono affrontate le si studia successivamente e quindi solo a quel punto possono essere chiari tutta una serie di concetti anche applicativi nel mondo fisico.

In particolare, ti ho marcato in rosso quanto avevi specificamente richiesto, ossia la presenza dei limiti nei concetti di velocità e di accelerazione per quanto concerne l'applicazione in meccanica. In particolare, conoscerai certamente la definizione di velocità media:

[math]v_m := \frac{\Delta x}{\Delta t}[/math]
, ossia il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato; nel momento in cui ci si pone il problema di calcolare la velocità istantanea (quella che si legge quotidianamente sui tachimetri delle nostre automobili) occorre fare riferimento al concetto di limite:
[math]v := \begin{aligned} \lim_{\Delta t \to 0} \end{aligned} \frac{\Delta x}{\Delta t}[/math]
, ossia la si definisce come una velocità media su un intervallino temporale infinitesimo, tendente a zero. Non è tutto: come sopra scritto, questo tipo di limite è talmente importante che gli viene attribuito un nome tutto suo, ossia si tratta di una derivata (calcolata rispetto al tempo) e di indica con la notazione
[math]v = \frac{\text{d}x}{\text{d}t}\\[/math]
.
In maniera del tutto simile, si definisce l'accelerazione istantanea tramite quest'altro limite:
[math]a := \begin{aligned} \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{\text{d}v}{\text{d}t} = \frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2} \end{aligned}[/math]
, dove credo sia intuibile che l'ultima notazione indichi una derivata di secondo ordine (ossia la derivata di una derivata). Stesso e identico discorso per quanto concerne la velocità angolare e l'accelerazione angolare, dove al posto di
[math]x[/math]
compare banalmente
[math]\theta[/math]
, al posto di
[math]v[/math]
compare
[math]\omega[/math]
e al posto di
[math]a[/math]
compare
[math]\alpha\\[/math]
.
Quelli qui citati sono essenzialmente gli unici limiti che troverai in qualsiasi libro di fisica (di base) scritti esplicitamente, mentre tutto il resto lo troverai espresso in termini di derivate (che abbiamo imparato essere dei tipi particolari di limite) e di integrali (anch'essi tipi particolari di limiti). In particolare, un esempio su tutti per quest'ultimo tipo di limiti, è il lavoro compiuto da una forza.

Nel caso della forza elastica, ad esempio, è noto che sia direttamente proposizionale allo spostamento impresso tramite la costante elastica della molla, quindi il proprio grafico in un piano in cui sull'asse delle ascisse compare lo spostamento e su quello delle ordinate compare la forza non può che essere una retta passante per l'origine e di pendenza k. Ecco, il lavoro compiuto da tale forza non è altro che l'area compresa tra l'asse delle ascisse e tale retta, ossia l'area di un triangolo che sappiamo calcolare sin dalle scuole medie.

In generale, però, non si avrà un grafico rettilineo, bensì una generica curva: per calcolare l'area posto sotto tale curva occorre suddividere la ragione interessata in molti rettangolini di cui sappiamo calcolare l'area e poi calcolare una sommatoria di tutti questi rettangolini. Ebbene, ponendosi nel limite in cui la base di tali rettangolini tende a zero si riesce a calcolare precisamente l'area interessata e questo non è altro che la definizione di integrale secondo Riemann:

[math]W := \begin{aligned} \lim_{\Delta x \to 0} \sum_{i = 1}^n F_{i,avg}\,\Delta x := \int_{x_i}^{x_f} F(x)\,\text{d}x \end{aligned}\\[/math]
(gli altri tipi di integrale sono troppo avanzati per essere trattati nei corsi base).

Spero di aver reso perlomeno l'idea. :)

a4321
a4321 - Sapiens Sapiens - 837 Punti
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Grazie mille! Purtroppo a scuola non si tratteranno questi argomenti in modo approfondito. Faccio lo psicopedagogico... Non so cosa sia uma derivata né un integrale. Per ora studio sul libro e con il Forum!
Vorrei chiedere un altro chiarimeto... Scusi, sul mio testo ci sono tanti esercizi con i limiti e le funzioni trigonometriche oppure con i logaritmi. Trigonometria e logaritmi li abbiamo saltati. Mi consiglia di studiarli sola? Sono necessari per gli Esami o per accedere a qualsiasi facoltà scientifica(chimica, biologia)? Grazie mille per ogni consiglio
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Per accedere a qualsiasi corso di laurea da appena diplomati non è richiesta la
conoscenza di alcuna nozione di analisi matematica (limiti, derivate e integrali,
per intenderci) in quanto se fosse diversamente si negherebbe di fatto l'accesso
a tutti coloro che non provengono da un liceo scientifico o da un ITIS.

D'altro canto si punta molto su nozioni logico-matematiche e un ruolo importante
lo acquisiscono senz'altro le funzioni, tra cui anche quelle logaritmiche e quelle
trigonometriche. Un esempio di test d'ingresso di un annetto fa lo trovi qui (qui le
soluzioni).

Al solito, il sito di riferimento per studiare nozioni di base in matematica
è RIPMAT; in particolare vedi qui per studiare i logaritmi e qui per la
trigonometria. :)

a4321
a4321 - Sapiens Sapiens - 837 Punti
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Grazie mille, comunque da pochissimi anni nei programmi dei licei umanistici ci sono anche i limiti, gli integrali, le derivate.
Grazie ancora
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Sì, ne sono al corrente, ma li insegnano talmente da cani da risultare
controproducente; molto meglio impararli da zero all'università. ;)
a4321
a4321 - Sapiens Sapiens - 837 Punti
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E il mio timore è proprio questo: iniziare da zero,per cui forse devo escludere l'opzione di studiare una facoltà scientifica.
Grazie milleper i consigli
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Ma perché mai? Come sopra scritto, ritengo sia più proficuo cominciare da zero
piuttosto che imparare le cose in malo modo e poi non riuscire più a correggere
gli errori pregressi. È lo stesso motivo per cui molti credo di saper già guidare e
poi all'esame pratico di patente vengono segati in quanto, spesso, non tengono
entrambe le mani sul volante bensì una sempre sul cambio (usanza diffusissima
ma che implica immediata bocciatura). Morale: non precluderti alcuna strada,
prova ad accedere al corso di laurea che maggiormente ti interessa e poi studia,
studia e ancora studia; così facendo non ti fermerà nessuno. ;)
a4321
a4321 - Sapiens Sapiens - 837 Punti
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Grazie mille è un piacere sentire l'esortazione allo "studiare" che oggi è associato al nozionismo mnemonico e inutile. Grazie
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