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studente_studente
studente_studente - Ominide - 40 Punti
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Buonasera, ho bisogno di una mano con questo esercizio:

1) Un disco di raggio R viene lasciato cadere da una altezza h su una guida circolare. Nel punto più basso urta un chiodo che penetra nel disco, in quel momento la velocità è nulla. Calcolare:
a) la velocità v1 del centro di massa nel punto più basso;
b) quali quantità si conservano prima e dopo l’urto;
c) quali quantità si conservano durante l’urto;
d) la velocità v2 subito dopo l’urto;
e) altezza h* massima che raggiunge il disco dopo l’urto;
f) la quantità ΔE di energia dissipata;
g) l’energia cinetica k* nel punto più alto che raggiunge il centro di massa.

Allora io ho provato a fare così:
a) Uso la conservazione dell'energia meccanica: Eo=Ef; mg(h+R)=12 mvf 2 ; vf=radice di [2g(h+R)];
b) Sicuramente la conservazione dell'energia meccanica perché non ci sono forze dissipative, per esempio l'attrito.
Ma si conserva pure la quantità di moto? Io penso di si anche se agisce la forza peso(forza esterna)..?!?
c) La quantità di moto credo di si visto che si conserva in tutti gli urti, credo che invece non si conservi l'energia perché non c'è scritto che è un urto elastico
d) Ecco, adesso come procedo? Di sicuro l'urto non è elastico perché mi viene chiesto poi quanta energia viene dissipata e nemmeno completamente anelastico perché il chiodo non resta dentro il disco.. anelastico e basta? e come procedo per sapere la velocità in questo caso? Io avevo pensato ancora con la conservazione dell'energia ed imporre come stato iniziale proprio quello dell'urto mentre come finale quando si ferma che arriva all'altezza massima ma non ha molto senso perché avrei 0=mgh_max ;
e) f) g) non so che pesci prendere visto che non riesco a fare d)

Grazie in anticipo per l'aiuto
mc2
mc2 - Genius - 14883 Punti
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Si conserva il momento angolare rispetto al chiodo: e` la condizione che abbiamo imposto per ricavare
[math]v_2[/math]
mc2
mc2 - Genius - 14883 Punti
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Il testo non e` molto preciso.
Suppongo che il disco debba rotolare senza strisciare, ma allora ci vuole l'attrito... che pero` non compie lavoro se il moto e` di puro rotolamento, per cui vale la conservazione dell'energia meccanica.

Inoltre non da` la massa del disco e neanche quella del chiodo!


L'energia pero` va scritta giusta:

Energia meccanica iniziale:
[math]E_i=mgh[/math]
(dalla figura si vede bene che il centro di massa del disco e` ad altezza h, quindi non bisogna aggiungere +R)
Energia meccanica finale: potenziale + cinetica

L'energia potenziale finale e` mgR (perche' il centro di massa e` ad altezza R dal fondo!)

L'energia cinetica finale deve tenere conto del rotolamento:

[math]K_f=\frac{1}{2}mv_f^2+\frac{1}{2}I\omega_f^2[/math]

I e` il momento di inerzia del disco:
[math]I=\frac{1}{2}mR^2[/math]

[math]\omega_f[/math]
e` la velocita` di rotazione che per il moto di puro rotolamento e`
[math]\omega_f=\frac{v_f}{R}[/math]

Quindi l'energia meccanica finale e`

[math]E_f=mgR+\frac{1}{2}mv_f^2+\frac{1}{2}\frac{1}{2}mR^2\frac{v_f^2}{R^2}=mgR+\frac{3}{4}mv_f^2[/math]


Dalla conservazione
[math]E_i=E_f[/math]
si ricava la velocita` del disco subito prima dell'urto:
[math]v_f=\sqrt{\frac{4}{3}g(h-R)}[/math]


Prima e dopo l'urto di conserva l'energia meccanica, non si conserva la quantita` di moto!


Durante l'urto si conserva la quantita` di moto, ma non l'energia meccanica, perche' l'urto e` anelastico. Si conserva anche il momento angolare calcolato rispetto al punto di contatto disco-guida


Conservazione quantita` di moto (m' e` la massa del chiodo):

[math]mv_f=(m+m')v_2[/math]

Da qui in poi si procede in modo analogo a quanto fatto nel punto precedente.

Se il disco+chiodo continua a rotolare (boh, mi sembra strano... se il testo fosse piu` chiaro!) devi ricordare che il momento di inerzia diventa
[math]I'=\frac{1}{2}mR^2+m'R^2[/math]
. Si impone la conservazione dell'energia meccanica e si trova l'altezza finale. Eccetera
studente_studente
studente_studente - Ominide - 40 Punti
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Perché non si conserva la quantità di moto prima e dopo l'urto?
E chi lo dice che il chiodo continua con il disco? Nel testo non c'è scritto, come ben avete detto esso non è chiaro, perché devo supporre che sia urto completamente anelastico?

Mi scuso per l'imprecisione del testo ma non l'ho, è un esercizio che mi aveva passato un collega. C'è qualcosa che non mi quadra.. da un confronto con il docente egli aveva commentato, tempo fa, che il disco non rotola e che al momento dell'urto c'è una rotazione "istantanea" che permette al chiodo di penetrare dentro il disco-come è possibile?(mi scuso ancora per non averlo scritto, sinceramente volevo vedere la risoluzione senza suggerimenti cioè come avrei dovuto farlo io da solo). Senza rotolamento e attrito, come si dovrebbe fare? E come faccio a capire quanta energia si dissipa con l'urto?

Il testo non fornisce le due masse, da solo l'altezza iniziale come dato.

La ringrazio ancora molto per la sua disponibilità, tempestività ed aiuto.
mc2
mc2 - Genius - 14883 Punti
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Perché non si conserva la quantità di moto prima e dopo l'urto?

Perche' c'e` una forza esterna: la gravita`.

E chi lo dice che il chiodo continua con il disco? Nel testo non c'è scritto, come ben avete detto esso non è chiaro, perché devo supporre che sia urto completamente anelastico?

Il testo dice che il chiodo penetra nel disco: mi sembra chiaro che continua a restare attaccato. Se non e` cosi`, il testo doveva dirlo piu` chiaramente.


Se il disco non rotola perche` la superficie e` liscia: anche questo dovrebbe essere detto in modo esplicito, altrimenti e` normale assumere (come ho fatto io) che rotoli.

Quindi se non c'e` rotolamento, nelle formule che ho scritto in precedenza basta togliere il termine
[math]\frac{1}{2}I\omega^2[/math]
nell'energia cinetica prima dell'urto, tutto il resto e` giusto.

Se il chiodo non resta attaccato al disco, cioe` se fa "da perno" attorno a cui il disco rotola (asse di rotazione istantaneo), allora nell'urto si conserva il momento della quantit\`a di moto calcolato rispetto al perno, ma allora non si conserva la quantit\`a di moto perche' il chiodo esercita una forza di vincolo (che e` una forza esterna).

Imponendo la conservazione del momento della quantita` di moto rispetto al perno ricavi la velocita` angolare di rotazione subito dopo l'urto, e la velocita` lineare sara` data da
[math]R\omega[/math]
.
Se la guida e` liscia, il disco manterra` questa velocita` di rotazione anche nella fase di risalita: scriverai allora la conservazione dell'energia meccanica con il termine di rotazione
[math]\frac{1}{2}I\omega^2[/math]
, che restera` costante, mentre il termine cinetico di traslazione
[math]\frac{1}{2}mv^2[/math]
diminuira`.
In pratica, nel punto di massima altezza il disco ruota ancora su se stesso.

Spero che sia chiaro.
Tempo fa avevo aiutato un altro partecipante con un problema simile, ti metto il link:

https://www.skuola.net/forum/fisica/conservazione-dell-energia-meccanica-nel-moto-di-puro-rotolamento-219445.html

Se qualcosa non e` chiaro, chiedi pure.


Pero` ora ho io una domanda: se questo era un esercizio facile, come sono quelli difficili? ;)
studente_studente
studente_studente - Ominide - 40 Punti
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Teoricamente è tutto chiaro ma con le formule un poco meno. Rispetto "al perno" che vuol dire? Prendo come polo un punto della circonferenza (che, approssimativamente, considero sia il chiodo)?

Eheh appena ne trovo uno difficile difficile non esiterò passarglielo :lol
mc2
mc2 - Genius - 14883 Punti
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Il perno va considerato puntiforme (altrimenti ci vorrebbero piu` informazioni), quindi il polo e` il punto sulla circonferenza del disco che tocca il perno.
studente_studente
studente_studente - Ominide - 40 Punti
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Quindi una cosa del genere: (immagine) dove ho indicato in arancio il chiodo e in rosso il polo. Se così, con la trigonometria trovo i bracci e continuo i procedimenti giusto?
Potrebbe farmi vedere cortesemente i passaggi, se ha un attimo disponibile..? :angel


P.S. non la vorrei indisporre, ma non ho ancora capito come devo calcolare l'energia dissipata... :box
mc2
mc2 - Genius - 14883 Punti
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Ricomincio da capo.

La conservazione dell'energia meccanica permette di ricavare la sua velocita` traslazionale subito prima dell'urto

Se il disco scende senza rotolare si ha:

[math]mgh=\frac{1}{2}mv_1^2+mgR[/math]

quindi
[math]v_1=\sqrt{2g(h-R)}[/math]

Nell'urto si conserva il momento angolare rispetto al chiodo (che considero un puntino sulla base della guida)

Prima dell'urto:
[math]L_i=mv_1R[/math]

Dopo l'urto (uso il teor. di Koenig):
[math]L_f=I\omega_2+mv_2R[/math]

Il momento di inerzia e`
[math]I=\frac{1}{2}mR^2[/math]
, siccome il disco non slitta sul chiodo bisogna imporre la condizione di puro rotolamento:
[math]v_2=R\omega_2[/math]
(questa condizione vale solo in questo istante!)
Dalla conservazione
[math]L_i=L_f[/math]
si ricavano
[math]v_2[/math]
ed
[math]\omega_2[/math]


Da qui in poi il disco si stacca dal chiodo e prosegue risalendo lungo la guida.

Non c'e` piu` attrito, quindi per la conservazione del momento angolare (il momento della forza peso rispetto al c.m. e` nullo) continua a ruotare con la stessa
[math]\omega_2[/math]
appena calcolata.
Invece la velocita` traslazionale diminuira` risalendo, fino ad annullarsi nel punto di altezza massima.

Quindi la conservazione dell'energia si scrive come

[math]mgR+\frac{1}{2}mv_2^2+\frac{1}{2}I\omega^2_2=
mgh^*+\frac{1}{2}I\omega^2_2
[/math]

[math]h^*=gR+\frac{v_2^2}{2}[/math]
studente_studente
studente_studente - Ominide - 40 Punti
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Uh finalmente quasi tutto chiarissimo.. non mi uccida ma ancora ho qualche piccolo dubbio :box :box :box

Quindi ricapitolando nel caso di non rotolamento, ultimo da lei analizzato: prima e dopo l'urto si conserva l'energia meccanica perché non ci sono forze dissipative ma non la quantità di moto perché c'è la forza peso (forza esterna). Durante l'urto si conserva il momento angolare rispetto al chiodo ma non la quantità di moto perché ancora una forza esterna, quella che il chiodo trasmette alla guida. Si conserva ancora l'energia meccanica durante l'urto vero?

Ma l'energia dissipata durante l'urto? Io ho capito che la traslazione diminuisce fino ad annullarsi ma in ogni caso è dopo l'urto.. e durante? :box

Mentre se rotola fin già dall'inizio del moto è tutto come aveva analizzato lei all'inizio
mc2
mc2 - Genius - 14883 Punti
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No, nell'urto non si conserva l'energia meccanica: basta fare la verifica.

Dalle formule che ho scritto sopra, facendo i calcoli io ho trovato:
[math]v_2=\frac{2}{3}v_1[/math]

L'energia cinetica iniziale e`
[math]K_i=\frac{1}{2}mv_1^2[/math]

quella finale e` (subito dopo l'urto)
[math]K_f=\frac{1}{2}mv_2^2+\frac{1}{2}I\omega_2^2=\frac{3}{4}mv_2^2=\frac{3}{4}m\frac{4}{9}v_1^2=\frac{1}{3}mv_1^2\neq K_i[/math]

quindi l'energia cinetica non e` conservata e la differenza e` l'energia dissipata. L'urto con il chiodo e` anelastico.
studente_studente
studente_studente - Ominide - 40 Punti
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MA allora cosa si conserva come quantità prima e dopo l'urto? nulla?
studente_studente
studente_studente - Ominide - 40 Punti
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Va bene, grazie mille per il suo enorme contributo. Mi ha molto aiutato, non mi poteva finire meglio :lol :windows
Ovviamente avrà la mia migliore risposta ora e in futuro, arrivederci!
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