• Fisica
  • Esercizio dubbio sulla potenza e forza dovuta all'aria

    closed post best answer
Fabien
Fabien - Erectus - 148 Punti
Salva

Buongiorno, ho un esercizio dubbio sulla potenza, riporto il testo:

Una vettura di massa M=650 kg raggiunge i 95 km/h in 6 s con a bordo un pilota di massa m=65 kg. Se il pilota carica un passeggero di peso uguale al proprio e se non cambia la potenza media del motore, determinare (trascurando gli attriti):
a) la nuova velocità raggiunta dopo 6 s;

Consideriamo ora che la resistenza dell'aria secondo la legge R=Kv con K=35 kg/s e il solo pilota a bordo. Facendo l'ipotesi che la forza del motore rimanga costante e uguale al primo caso, determinare:
b) la nuova velocità dopo 6 s;
c) la potenza media sviluppata nei primi 6 s;

N.B: Si può considerare l'accelerazione costante nell'intervallo in questione e la forza di attrito media

[math]R=-Kv_{media}[/math]

------------
Per il punto a),il lavoro fatto dal motore è data dal teorema del lavoro-energia cinetica
[math]L_1=\frac{1}{2}(M+m)v^2[/math]

Se la potenza non cambia sia prima che dopo la salita del passeggero, dalla definizione di potenza, sia
[math]t_1=6 \ s[/math]
il tempo trascorso quando la vettura raggiunge la velocità
[math]v=95 \ \frac{km}{h}[/math]
, il motore della vettura avrà prodotto un lavoro
[math]L_1[/math]
, denoto ora il tempo
[math]t_2=6 \ s[/math]
il tempo tracorso alla vettura di raggiungere la nuova velocità
[math]v_f[/math]
, il motore avrà prodotto un lavoro pari a
[math]L_2[/math]
, lo stesso di
[math]L_1[/math]
, infatti
[math]P=\frac{L_1}{t_1}=\frac{L_2}{t_2}[/math]

Imponendo che il lavoro
[math]L_2[/math]
, dopo la salita del passeggero valga, sempre per il teorema del lavoro-energia cinetica
[math]L_2=\frac{1}{2}(M+2m)v_f^2[/math]

Quindi essendo
[math]L_1=L_2[/math]
, si trova
[math]\frac{1}{2}(M+m)v^2=\frac{1}{2}(M+2m)v_f^2[/math]

da cui
[math]v_f=v\sqrt{\frac{M+m}{M+2m}}[/math]

b) La seconda parte dell'esercizio c'è in gioco la forza di attrito dovuta all'aria, quindi se ci si mette nel caso precedente, la vettura è soggetta alla forza di attrito che si oppone al moto, quindi
[math]-F=(M+m)a[/math]

da cui si ottiene l'equazione differenziale
[math]-Kv=(M+m)\frac{dv}{dt}[/math]

da cui
[math]\frac{dv}{v}=-\frac{K}{M+m}dt[/math]

Integrando tra
[math]v \in [v_i,v_f][/math]
e
[math]t\in[0,6][/math]
, dove
[math]v_i=95 \ \frac{km}{h}[/math]
si ottiene:
[math]\int_{v_i}^{v_f}\frac{dv}{v}=-\int_{0}^{6}\frac{K}{M+m}dt[/math]

quindi
[math]\log(\frac{v_f}{v_i})=-\frac{6K}{M+m}[/math]

Ricavo che
[math]v_f=v_i\cdot e^{-\frac{6K}{M+m}}[/math]

Ottengo che
[math]v_f=70.2 \ \frac{km}{h}[/math]

Non so se è giusto il moto di procedere sia al punto a), che b).
Per il punto c), non so se conviene utilizzare la formula classica
[math]P=Fv_{media}[/math]
, visto che dice nel nota bene che l'accelerazione si può ritenere costante....
mc2
mc2 - Genius - 14197 Punti
Salva

Ora va bene (anche la b)

mc2
mc2 - Genius - 14197 Punti
Salva

Il punto a va bene.

Il punto b e` sbagliato.
L'attrito dell'aria c'e` sempre, dall'inizio alla fine: tu l'hai considerato solo nella parte finale! Anche il motore funziona sempre, invece tu l'hai considerato solo nella parte iniziale!
In pratica tu hai il motore che spinge la macchina fino a raggiungere una certa velocita` poi si spegne e contemporaneamente si accende l'attrito (che prima non c'era!). Infatti la tua velocita` tende esponenzialmente a zero.


Tu devi considerare la macchina che parte da ferma con il motore che spinge e contemporaneamente l'attrito che cerca di frenarla!

[math](M+m)a=F_{mot}-F_{attr}[/math]

Dovrai trovare un risultato con una velocita` che tende ad un valore costante (ma non zero) per t infinito .


PS: il suggerimento di considerare la velocita` media secondo me non ha senso, lascia perdere e risolvi l'eq. differenziale cosi` com'e`.

Fabien
Fabien - Erectus - 148 Punti
Salva

Ho ottenuto l'equazione differenziale

[math](M+m)\frac{dv}{dt}=F_{mot}-Kv[/math]

cioè
[math](M+m)\frac{dv}{F_{mot}-Kv}=dt[/math]

da cui integrando entrambi i membri
[math]\int (M+m)\frac{dv}{F_{mot}-Kv}=\int dt[/math]

Integrando a sinistra tra 0 e v e a destra tra 0 e t si ricava:
[math]-\frac{(M+m)\cdot \log(Kv-F_{mot})}{k}=t[/math]

quindi ricavo la velocità:
[math]v(t)=\frac{1}{k}e^{-\frac{kt}{M+m}}+\frac{F_ {mot}}{k}[/math]

Il problema è che per
[math]t>0[/math]
la velocità tende sempre
[math]v=\frac{F_ {mot}}{k}[/math]
...
mc2
mc2 - Genius - 14197 Punti
Salva

Sbagli il calcolo dell'integrale.

[math](M+m)\int\limits_0^v\frac{dv'}{F_{mot}-Kv'}=t[/math]

[math]t=(M+m)\left[-\frac{1}{K}\log({F_{mot}-Kv'})\right]_{v'=0}^{v'=v}=
-\frac{(M+m)}{K}\log\frac{F_{mot}-Kv}{F_{mot}}
[/math]

Eccetera.

Il limite per t infinito della velocita` deve essere

[math]v_{lim}=F_{mot}/K[/math]
perche` e` quella che annulla l'accelerazione nell'equazione del moto.
Fabien
Fabien - Erectus - 148 Punti
Salva

Ho ricontrollato il calcolo e viene fuori l'espressione

[math]v(t)=\frac{F_{mot}}{k}(1-e^{-\frac{k}{M+m}t}) \quad (*)[/math]

quindi la condizione v(0)=0 è ovviamente verificata, per trovare ora la forza del motore devo considerare nel testo al tempo
[math]t_1=6 s[/math]
la condizione
[math]v(6)=95 \ \frac{km}{h}[/math]
per determinare
[math]F_{mot}[/math]
e, se ho capito bene, chiede la nuova velocità dopo altri 6 secondi, cioè devo calcolare v(12) dalla soluzione dell'equazione differenziale.
---
Il punto c) chiede quindi di calcolare la potenza nei primi 6 secondi, quindi noto
[math]F_{mot}[/math]
al punto b) che è costante e noto
[math]v(6)[/math]
calcolo la potenza richiesta. Giusto?
Cioè devo calcolare:
[math]P(6)=F_{mot}v(6)[/math]

con
[math]v(6)[/math]
valutato dalla relazione scritta in (*).
mc2
mc2 - Genius - 14197 Punti
Salva

No, rileggi bene il testo. La forza del motore e` sempre la stessa, quella che hai calcolato nel punto a.

Ora devi usare quel risultato per calcolare quale sara` la velocita` dopo i primi 6 secondi (dovra` essere minore di 95 km/h).

Fabien
Fabien - Erectus - 148 Punti
Salva

b) Dal punto a) il lavoro

[math]L_1[/math]
era
[math]L_1=\frac{1}{2}(M+m)v^2[/math]

con v = 95 km/h.
Dalla definizione di potenza, con t=6 s, si ha
[math]P=\frac{L_1}{t}=F_{mot}\cdot v[/math]

ossia:
[math]\frac{\frac{1}{2}(M+m)v^2}{t}=F_{mot}\cdot v[/math]

Ricavo la forza del motore:
[math]F_{mot}=\frac{\frac{1}{2}(M+m)v}{t}=1572 \ N[/math]

Dall'espressione ottenuta dall'equazione differenziale:
[math]v(t)=\frac{F_{mot}}{k}(1-e^{-\frac{k}{M+m}t})[/math]

che al tempo t=6 si ottiene
[math]v(6)=41.16 \ \frac{km}{h}[/math]

c) La potenza richiesta nei primi 6 secondi è quindi
[math]P=F_{mot}\cdot v(6)=18 kW \quad \mbox{dove} \ \ F_{mot}=1576 \ N \quad \mbox{e} \quad v(6)=41.16 \ \frac{km}{h}[/math]

dove la velocità deve essere valutata in m/s.
mc2
mc2 - Genius - 14197 Punti
Salva

Ma hai scritto tu stesso:

[math]P=\frac{L_1}{t}=F_{mot}\cdot v[/math]
e la v che ci va qui e` quella MEDIA (che non conosci), non la v al tempo t=6 secondi!!!
Usa la prima formula che hai scritto, che e` la piu` semplice:
[math]P=\frac{L_1}{t}[/math]
Fabien
Fabien - Erectus - 148 Punti
Salva

Quindi il punto c) è semplicemente

[math]P=\frac{L_1}{t}=\frac{\frac{1}{2}(M+m)v^2}{t}=41.5 kW[/math]

con v=95 km/h e t=6 s.

Non so se la b) va bene.

Questo topic è bloccato, non sono ammesse altre risposte.
Come guadagno Punti nel Forum? Leggi la guida completa
In evidenza
Classifica Mensile
Vincitori di agosto
Vincitori di agosto

Come partecipare? | Classifica Community

Community Live

Partecipa alla Community e scala la classifica

Vai al Forum | Invia appunti | Vai alla classifica

Registrati via email