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Miriam965
Miriam965 - Ominide - 16 Punti
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Buon pomeriggio ragazzi, ho trovato questo forum per caso su internet. Spero che mi possiate aiutare, stamattina a scuola abbiamo fatto una lezione sui fluidi, solo che non ho capito molto bene le formule da dover usare, e dato che tra 5 giorni abbiamo la verifica non voglio farmi cogliere impreparata. Abbiamo fatto questi tre esercizi:
1) In un tubo di diametro 4.0 cm scorre acqua con una velocità 15m/s con pressione di 2.5*10^5 Pa, il tubo poi scende gradualmente a una quota inferiore di 10m, mentre la sua sezione si allarga a 6 cm di diametro.
a)Velocità acqua nel tratto inferiore?
b)Qual è pressione nel tubo?
2)In una botte piena di acqua piovana un rubinetto in prossimità del fondom a una profondità di 0.80 m al di sotto della superficie libera dell'acqua.
a)Con quale velocità esce l'acqua se il rubinetto è orientato orizzontalmente?
b)A che distanza dalla botte arriva l'acqua se il rubinetto si trova a 20 cm dal suolo?
c)Quale altezza raggiunge lo zampillo se il rubinetto è rivolto invece verso l'alto?
3)Un rubinetto posto ad un'altezza di 30 cm dal fondo del lavello, ha un diametro interno di 20 mm. Dal rubinetto fuoriesce acqua con una portata di 6 l/min.
a)Quanto vale velocità del liquido che fuoriesce dal rubinetto?
b)Quanto vale la velocità dell'acqua poco prima di toccare il fondo del lavello?
c)Quanto vale la sezione del getto d'acqua poco prima di toccare il fondo del lavello?

TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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1. Nelle ipotesi di fluido perfetto e di moto permanente/regolare
è possibile fare riferimento al teorema di Bernoulli, secondo cui
[math]h_i + \frac{p_i}{\gamma} + \frac{u_i^2}{2\,g} = h_f + \frac{p_f}{\gamma} + \frac{u_f^2}{2\,g}[/math]
e all'equazione di continuità,
secondo cui
[math]u_i\,A_i = u_f\,A_f[/math]
. In base ai dati a disposizione, ponen-
do a sistema tali equazioncine dovresti riuscire a calcolare senza gros-
si problemi sia la velocità finale
[math]u_f[/math]
e la pressione finale
[math]p_f[/math]
, ricor-
dando che per l'acqua
[math]\gamma := \rho\,g = 1000\,\frac{kg}{m^3} \cdot 9.81\,\frac{m}{s^2} = 9810\,\frac{N}{m^3}\\[/math]
.

2. Grazie al teorema di Bernoulli si ha
[math]h_i + \frac{p_i}{\gamma} + \frac{u_i^2}{2\,g} = h_f + \frac{p_f}{\gamma} + \frac{u_f^2}{2\,g}[/math]
,
dove nel caso in oggetto si ha
[math]h_i - h_f = 0.8\,m[/math]
e
[math]p_i - p_f = 0[/math]
perché
entrambe le sezioni sono in atmosfera (ossia a stessa pressione). Inoltre, nella
ragionevole ipotesi che
[math]u_i = 0[/math]
, ossia che la velocità dell'acqua in cima alla
botte sia pressoché nulla, è presto calcolata anche la velocità all'uscita dal ru-
binetto (in queste particolari condizioni semplificatrici si parla di velocità torri-
celliana
). Ciò fatto, non si tratta altro che di un moto parabolico di legge oraria
orizzontale
[math]x(t) = x_0 + v_{0x}\,t[/math]
e legge oraria verticale
[math]\small y(t) = y_0 + v_{0y}\,t - \frac{1}{2}\,g\,t^2[/math]
,
dove
[math]x_0 = 0[/math]
,
[math]v_{0x} = u_f[/math]
,
[math]y_0 = 0.2\,m[/math]
,
[math]v_{0y} = 0[/math]
. Quindi, imponendo
[math]\small y(t^*) = 0[/math]
è possibile calcolare il tempo
[math]\small t^*[/math]
per arrivare a terra e quindi la distan-
za orizzontale (la gittata) richiesta è semplicemente
[math]x(t^*)[/math]
. Per quanto riguarda il
terzo quesito è semplicemente un caso particolare del secondo in cui il moto è
esclusivamente in direzione verticale di leggi orarie
[math]y(t) = v_{0y}\,t - \frac{1}{2}\,g\,t^2[/math]
e
[math]v_y(t) = v_{0y} - g\,t[/math]
, dove
[math]v_{0y} = u_f[/math]
; imponendo
[math]v_y(t^*) = 0[/math]
è possibile
calcolare il tempo
[math]t^*[/math]
per raggiungere l'altezza massima (dove la velocità si an-
nulla) e quindi l'altezza massima raggiunta risulta essere
[math]y(t^*)\\[/math]
.

3. Direttamente dalla definizione di portata volumetrica si ha che
[math]Q_k := A_k\,u_k[/math]
, quindi rispondere al primo quesito è banale, basta
ricordare che
[math]1\,m^3 = 1000\,L[/math]
e
[math]1\,min = 60\,s[/math]
. Nota
[math]u_k[/math]
che
in questo caso coincide con la velocità iniziale
[math]u_i[/math]
, applicando il
teorema di Bernoulli tra la sezione iniziale e la sezione finale si ha
[math]h_i + \frac{p_i}{\gamma} + \frac{u_i^2}{2\,g} = h_f + \frac{p_f}{\gamma} + \frac{u_f^2}{2\,g}[/math]
, dove nel caso in oggetto si ha
[math]h_i - h_f = 0.3\,m[/math]
e
[math]p_i - p_f = 0[/math]
perché entrambe le sezioni sono
in atmosfera (ossia a stessa pressione);
[math]u_f[/math]
è quindi presto calcolata.
Dulcis in fundo, grazie all'equazione di continuità:
[math]u_i\,A_i = u_f\,A_f[/math]
è
possibile rispondere anche al terzo quesito.


Spero sia sufficientemente chiaro. ;)
Miriam965
Miriam965 - Ominide - 16 Punti
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Ti ringrazio per avermi risposto.
Scusa se sono stressante, ma vorrei capire bene.
Andando per step.
L'esercizio:
a) V=V/S => 0.1 dm^3/s/(3.14 *(0.002)^2 = 0.34 m/s
b)VF= (2*g*h+Vo^2)^1/2
c) Non l'ho ancora capito (non mi ammazzare xD)
2)
a) V= (2*g*h)^1/2 (Equazione torricelli)
b) D= (2*g*h)^1/2 * ((2*H-h)/g)^1/2
c)Anche in questo caso c non l'ho capita >.<
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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1. Essendo noto che
[math]d_i = 0.04\,m[/math]
,
[math]u_i = 15\,\frac{m}{s}[/math]
,
[math]p_i = 2.5 \cdot 10^5\,Pa[/math]
,
[math]h_i - h_f = 10\,m[/math]
,
[math]d_f = 0.06\,m[/math]
e sostituendo tali dati nelle due equa-
zioni sopra illustrate e poste a sistema, si ottiene
[math]u_f = \frac{d_i^2}{d_f^2}\,u_i \approx 6.67\,\frac{m}{s}[/math]
,
[math]p_f = p_i + \gamma\,(h_i - h_f) + \frac{\gamma}{2\,g}\left(u_i^2 - u_f^2\right) \approx 438378\,Pa\\[/math]
.

2. Essendo
[math]h_i - h_f = 0.8\,m[/math]
,
[math]p_f - p_i = 0[/math]
,
[math]u_i = 0[/math]
,
sostituendo tali dati nell'equazione sopra illustrata, si ottiene
[math]u_f = \sqrt{2\,g\,(h_i - h_f)} \approx 3.96\,\frac{m}{s}[/math]
. Quindi, in base ai dati
e alle equazioni sopra scritte, si ottiene rispettivamente che
[math]\small t^* = \sqrt{\frac{2\,y_0}{g}} \approx 0.20\,s[/math]
,
[math]\small x(t^*) = u_f\,t^* = 2\,\sqrt{y_0\,(h_i - h_f)} \approx 0.8\,m[/math]
.
Per quanto riguarda il terzo quesito, si ha
[math]\small t^* = \sqrt{\frac{2\,(h_i - h_f)}{g}} \approx 0.40\,s[/math]
,
[math]y(t^*) = (h_i - h_f) = 0.8\,m\\[/math]
.

3. In base a quanto sopra scritto, si ha
[math]u_i = \frac{Q}{A_i} = \frac{4\,Q}{\pi\,d_i^2} \approx \frac{4 \cdot 6\cdot \frac{0.001}{60}}{\pi \cdot 0.02^2}\,\frac{m}{s} \approx 0.32\,\frac{m}{s}[/math]
,
quindi
[math]u_f = \sqrt{u_i^2 + 2\,g\,(h_i - h_f)} \approx 2.45\,\frac{m}{s}[/math]
e
[math]A_f = \frac{u_i}{u_f}\,A_i \approx 41\,mm^2\\[/math]
.

Tutto qui. ;)
Miriam965
Miriam965 - Ominide - 16 Punti
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Ti ringrazio mi hai salvata!
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