mimm8
mimm8 - Habilis - 173 Punti
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ciao, avrei bisogno di aiuto con questa dimostrazione:
"Usando i teoremi di Gauss ( teorema della divergenza) e di Stokes ( teorema del rotore), dimostrare come si ottengono le equazioni di Maxwell differenziali ( forma locale) dalle equazione espresse in forma integrale ( e viceversa)."
grazie. :thx
mc2
mc2 - Genius - 14217 Punti
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Legge di Gauss: il flusso del vettore
[math]\vec{E}[/math]
attraverso una superficie chiusa
[math]\Sigma[/math]
e` uguale alla carica elettrica racchiusa dalla superficie diviso
[math]\epsilon_0[/math]
:
[math]\int_\Sigma \vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q}{\epsilon_0}[/math]

La carica totale Q si puo` anche scrivere come integrale sul volume V (racchiuso da
[math]\Sigma[/math]
) della densita` di carica:
[math]\int_\Sigma \vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q}{\epsilon_0}=
\int_V\frac{\rho}{\epsilon_0}dV
[/math]

Al primo membro possiamo applicare il teorema della divergenza:

[math]\int_\Sigma \vec{E}\cdot d\vec{S}=\int_V\nabla\cdot\vec{E}~dV[/math]

Quindi si ha:

[math]\int_V\nabla\cdot\vec{E}~dV=\int_V\frac{\rho}{\epsilon_0}dV
[/math]

e siccome il volume V (cioe` la superficie
[math]\Sigma[/math]
) e` arbitrario si ha l'uguaglianza delle funzioni integrande:
[math]\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}[/math]

Viceversa, dalla prima equazione di Maxwell
[math]\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}[/math]
si calcola l'integrale di volume su un volume arbitrario V (delimitato da una superficie
[math]\Sigma[/math]
).
Il secondo membro da`
[math]\frac{Q}{\epsilon_0}[/math]
, nel primo membro applichi il teorema di Gauss in senso inverso a prima e riottieni la legge di Gauss.

Per la seconda equazione di Maxwell ripeti lo stesso procedimento: il secondo membro e` 0 perche' non ci sono monopoli magnetici, il che equivale a dire che il flusso di
[math]\vec{B}[/math]
attraverso una superficie chiusa qualsiasi e` sempre 0

Legge di Ampere-Maxwell: la circuitazione di
[math]\vec{B}[/math]
lungo una linea chiusa (arbitraria)
[math]\Gamma[/math]
e` uguale alla corrente totale concatenata moltiplicata per
[math]\mu_0[/math]

[math]\oint_\Gamma \vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0 \,i[/math]

Anche in questo caso riscriviamo il secondo membro come integrale di superficie attraverso la superficie
[math]\Sigma[/math]
delimitata da
[math]\Gamma[/math]
, calcolando cioe` il flusso della densita` di corrente
[math]\vec{j}[/math]
attraverso la superficie. A primo membro applichiamo il teorema di Stokes e la circuitazione di
[math]\vec{B}[/math]
diventa il flusso di
[math]\nabla\times \vec{B}[/math]
attraverso la stessa superficie
[math]\Sigma[/math]

[math]\oint_\Gamma \vec{B}\cdot d\vec{l}=\int_\Sigma
\nabla\times \vec{B}\cdot d\vec{S}=\mu_0\int_\Sigma \vec{j}\cdot d\vec{S} [/math]

e per l'arbitrarieta` della linea chiusa
[math]\Gamma[/math]
si ha l'uguaglianza delle funzioni integrande:
[math]\nabla\times \vec{B}=\mu_0\,\vec{j}[/math]

La densita` di corrente a secondo membro e` la somma della densita` di corrente di conduzione
[math]\vec{j}_c[/math]
e di quella di spostamento:
[math]\vec{j}_s=\epsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}[/math]
per cui in conclusione si ottiene la quarta equazione di Maxwell in forma differenziale:

[math]\nabla\times \vec{B}=\mu_0\,\vec{j}_c+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}[/math]

Ripetendo gli stessi passaggi a ritroso riottieni la legge di Ampere-Maxwell


Per la terza eq. di Maxwell stesso procedimento: dalla forma integrale (legge di Lenz: la circuitazione di
[math]\vec{E}[/math]
lungo una linea chiusa e` uguale all'opposto della variazione del flusso del campo magnetico concatenato ad essa) ricavi quella differenziale e viceversa
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