• Fisica
  • Distributività del prodotto vettoriale

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Beauty__mary
Beauty__mary - Erectus - 55 Punti
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Ciao a tutti! Mi servirebbero entro stasera questi due problemi..
1) Dimostra che a x (b + c) = a x b + a x c.
2) Dimostra che (a+b)x c = a x c + b x c.
Sono tutti vettori.
Vi ringrazio anticipatamente :)

Questa risposta è stata cambiata da TeM (09-11-14 18:54, 2 anni 10 mesi 20 giorni )
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Nel caso del prodotto vettoriale, vale la distributività rispetto alla somma
sia a sinistra che a destra. Io ti mostrerò quella a sinistra, tu ripercorrerai pra-
ticamente gli stessi passaggi per dimostrare quella a destra (completando così
l'esercizio che ti hanno assegnato).

Dati i vettori
[math]a,\,b,\,c \in \mathbb{R}^3\\[/math]
, se vogliamo dimostrare che
[math](a + b) \times c = a \times c + b \times c\\[/math]

dobbiamo far riferimento ad una proprietà del prodotto misto che
diamo per assodata:

[math]a \times b \cdot c = a \cdot b \times c\\[/math]
.
Considerando dunque un vettore arbitrario
[math]d \in \mathbb{R}^3\\[/math]
, scriviamo
[math][(a + b) \times c] \cdot d = \\[/math]

per la precedente proprietà

[math]= (a + b) \cdot (c \times d) = \\[/math]

per la distributività del prodotto scalare rispetto alla somma

[math]= a \cdot c \times d + b \cdot c \times d = \\[/math]

per la proprietà del prodotto misto introdotta in precedenza

[math]= a \times c \cdot d + b \times c \cdot d = \\[/math]

per la distributività del prodotto scalare rispetto alla somma

[math]= (a \times c + b \times c) \cdot d\\[/math]
.
In definitiva

[math][(a + b) \times c] \cdot d = (a \times c + b \times c) \cdot d\\[/math]

ed essendo il vettore
[math]d\\[/math]
arbitrario, concludiamo che
[math](a + b) \times c = a \times c + b \times c\\[/math]

c.v.d. ;)
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