• Fisica
  • Dischi coassiali attaccati a una carrucola che rotolano sotto l'azione di una massa

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rino.f.95
rino.f.95 - Erectus - 65 Punti
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La foto del problema è sotto allegata.

Le equazioni che imposto sono:
1. equazione della massa m:
[math] mg - T = ma_{m} [/math]

2. equazione dei dischi:
[math] T - f_{s} = ( M_{1} + M_{2} ) a_{M} [/math]

3. equazione dei momenti:
[math] TR_{1} + f_{s} R_{2} = I \alpha [/math]


e, con le relazioni
1:
[math] a_{m} = \alpha R_{1} [/math]

2:
[math] a_{M} = \alpha R_{2} [/math]


sommo la 1. alla 2. e, dopodiché, sommo l'equazione ottenuta alla 3, ottenendo:

[math] mg( 1 + \frac{R_{2}}{R_{1}} ) = [ \frac{R_{2}}{R_{1}} [ mR_{1} + ( M_{1} + M_{2} ) R_{2} + \frac{I}{R_{2}} ] + mR_{1} ] \alpha [/math]


e infine mi ricavo l'accelerazione angolare
[math] \alpha [/math]
:
[math] \alpha = \frac{mg( 1 + \frac{R_{2}}{R_{1}} )}{\frac{R_{2}}{R_{1}} [ mR_{1} + ( M_{1} + M_{2} ) R_{2} + \frac{I}{R_{2}} ] + mR_{1}} [/math]


mi calcolo il momento d'inerzia totale dei due dischi coassiali come:

[math] I = \frac{1}{2}M_{1}R_{1}^2 + \frac{1}{2}M_{2}R_{2}^2 [/math]


e con questi calcoli, l'accelerazione angolare mi viene uguale a
[math]10,43 rad/s^2 [/math]
e se provo a ricavare
[math] a_{m} = \alpha R_{1} [/math]
mi viene
[math] a_{m} = 3,13 m/s^2 [/math]
, che è un risultato lungi dall'essere esatto se confrontato alle soluzioni del problema.
Che cosa è probabile che sbaglio? A impostare le equazioni o il momento di inerzia totale è errato?
mc2
mc2 - Genius - 14237 Punti
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E` sbagliata la relazione tra a_m ed alpha : quella che hai scritto tu sarebbe giusta se il cilindro piccolo rotolasse a contatto con il piano.

Aggiunto 1 ora 42 minuti più tardi:

L'unica equazione da correggere e`

[math]a_m=\alpha(R_1+R_2)[/math]

Risolvendo il sistema io ho trovato

[math]\alpha=\frac{mg(R_1+R_2)}{(M_1+M_2)R_2^2+m(R_1+R_2)^2+I}=6.81[/math]
rad/s^2
[math]a_m=\alpha(R_1+R_2)=5.45[/math]
m/s^2

Gli altri risultati vengono di conseguenza


PS: ma dove li trovi tutti questi esercizi cosi` interessanti?
rino.f.95
rino.f.95 - Erectus - 65 Punti
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Ho capito, insomma per la massa m si considera come se a rotolare sul piano ci fosse un unico disco di raggio
[math] R = R_{1} + R_{2} [/math]
e momento di inerzia totale
[math] I_{tot} = I_{1} + I_{2} [/math]
perché è legata al disco più interno, mentre se si considera solo il sistema formato da
[math] M = M_{1} + M_{2} [/math]
questo dipendo solo da
[math] R_{2} [/math]
, ma con lo stesso momento d'inerzia
[math] I_{tot} [/math]
. Con questi accorgimenti sono sicuro che l'esame di fisica 1 mi andrà benone!! Ti ringrazio!!
Questi esercizi ce li fornisce direttamente il nostro professore, sono presi in parte dal Mazzoldi e da temi d'esame scorsi del Politecnico di Torino.
Ecco li ho messi su drive se vuoi darci un'occhiata https://drive.google.com/open?id=0ByD3rHK5pKy-a3d5SDE4UkhLMk0
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