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  • Corrente e potenza sbarretta di alluminio

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mimm8
mimm8 - Habilis - 173 Punti
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Ciao :hi
ho un grosso problema con questo esercizio d'esame:
"Una sbarretta cilindrica di alluminio lunga a = 20 cm e di raggio r1 = 1 mm è tenuta sotto un segmento rettilineo molto lungo di filo di sezione circolare di raggio r2 = 10 mm. Con dei cavi flessibili si costruisce quindi un circuito con i collegamenti come in Figura.
Si calcoli:
a) la corrente necessaria affinché la sbarretta rimanga attaccata al filo. Si trascuri lo spessore della guaina isolante sulle superfici del filo e della sbarretta.
b) la potenza dissipata dalla sbarretta.
c) Qual è la potenza erogata dalla batteria?

La corrente necessaria viene generata da una batteria per auto con una forza elettromotrice chimica di 12 V."
grazie.


mc2
mc2 - Genius - 14257 Punti
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Ciao,
scusa per il ritardo nella risposta, ma in questi giorni ho avuto troppo da fare (e nei prossimi giorni avro` ancora meno tempo).


Ho abbozzato una soluzione, ma non mi convince molto... non mi e` molto chiaro questo problema.


Innanzi tutto si scrive il campo magnetico generato dal tratto di filo superiore (di raggio r_2):

all'esterno del filo il campo B e` diretto tangenzialmente (cioe` lungo cerchi concentrici con l'asse del cilindro) ed ha modulo:

[math]B=\frac{\mu_0 i}{2\pi r}[/math]

Ora bisogna calcolare la forza che si esercita sul conduttore sottostante a causa della forza magnetica.


Con riferimento al grafico nel file allegato, considero un punto P all'interno del cilindro inferiore, a distanza
[math]AP=\rho[/math]
dal centro e ad angolo
[math]\alpha [/math]
con la verticale.
Considero un elemento infinitesimo di area dS del cilindro posizionato in P: la corrente che attraversa dS e`

[math]di=j \rho d\rho d\alpha=\frac{i}{2\pi r_1^2} \rho d\rho d\alpha[/math]

Avendo introdotto la densita` di corrente
[math]j=\frac{i}{2\pi r_1^2}[/math]

La distanza di P dal centro del cilindro superiore si ottiene con il teorema di Carnot:

[math]r=\sqrt{\rho^2+(r_1+r_2)^2-2\rho(r_1+r_2)\cos\alpha}[/math]

La forza che agisce su questo elemento di corrente e`:

[math]dF=di\ell B=di\ell\frac{\mu_0 i}{2\pi r}= j \rho d\rho\, d\alpha\, \ell\frac{\mu_0 i}{2\pi r}[/math]

dove
[math]\ell[/math]
e` la lunghezza del cilindro inferiore.
La forza e` indicata dalla freccia rossa, nell'ipotesi che le due correnti siano perpendicolari al piano del foglio, con verso uscente.

Di questa forza interessa solo la componente verticale, perche' quella orizzontale si annulla per simmetria, quando si integra su tutto il cilindro.

[math]dF_y=dF\sin\alpha=j\rho d\rho\, d\alpha\,\ell\frac{\mu_0 i}{2\pi r} \sin\alpha[/math]


Ora bisogna integrare per ottenere la forza totale:

[math]F=j \int_0^{r_1}\rho d\rho \int_0^{2\pi}d\alpha \ell\frac{\mu_0 i}{2\pi r} \sin\alpha=[/math]

[math]=j\ell\frac{\mu_0 i}{2\pi}\int_0^{r_1}\rho d\rho\int_0^{2\pi}d\alpha
\frac{\sin\alpha}{\sqrt{\rho^2+(r_1+r_2)^2-2\rho(r_1+r_2)\cos\alpha}}
[/math]


Ora bisogna integrare per calcolare la forza. Conoscendo la massa della sbarretta (il testo non da` la densita` dell'alluminio... sara` in qualche tabella?) si ricava la corrente.


La potenza dissipata e` data dalla legge di Joule.
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