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  • Conservazione dell'energia meccanica nel moto di puro rotolamento

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rino.f.95
rino.f.95 - Erectus - 65 Punti
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Il testo del problema con relativa immagine si trova nella foto allegata;

Non sono riuscito a risolvere solamente il punto c):

Se trovo la velocità con cui si trova alla fine del tratto AB, dato che non c'è dissipazione di energia e che di conseguenza l'energia cinetica si conserva, l'altezza raggiunta dal punto quando sale per il tratto CD (che ha uguale inclinazione di AB) non dovrebbe essere uguale ad h1?? Che senso ha chiedere l'altezza che assume salendo nuovamente con la stessa energia con cui è sceso??
mc2
mc2 - Genius - 14197 Punti
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L'energia meccanica si conserva, ma e` sempre costituita da una parte di energia cinetica e da una di energia potenziale.

Il tratto discendente ha attrito ed il pallone rotola senza strisciare.

Il tratto ascendente e` liscio, cioe` senza attrito, il pallone potra` quindi strisciare (si deve conservare anche il momento angolare!): significa che l'energia totale si divide in modo diverso tra cinetica e potenziale e questo fa si` che l'altezza finale possa essere diversa.

Adesso non ho tempo di scrivere piu` in dettaglio, ma comincia a pensarci e piu` tardi, se non l'avrai risolto da solo, tornero`... promesso!

Aggiunto 2 ore 42 minuti più tardi:

Eccomi qua.
Per i punti a e b metto solo i risultati, visto che li hai gia` risolti:


a)
[math]I=\frac{2}{5}m\frac{r_2^5-r_1^5}{r_2^3-r_1^3}
[/math]


b)
[math]a=\frac{g\sin\theta}{1+\frac{I}{mr_2^2}}[/math]


[math]v=\sqrt{\frac{2g(h_1-r_2)}{1+\frac{I}{mr_2^2}}}[/math]



c) quando il pallone e` sul tratto orizzontale BC prosegue con velocita` costante
[math]v[/math]
, rotolando con velocita` angolare costante
[math]\omega=v/r_2[/math]

Quando risale sul tratto obliquo CD, la sua velocita` angolare resta costante e uguale ad
[math]\omega=v/r_2[/math]
, perche' non c'e`
l'attrito! (conservazione del momento angolare)

La velocita` del suo centro di massa invece diminuisce, fino ad arrestarsi quando arriva all'altezza massima
[math]h_2[/math]
. Vale la conservazione dell'energia:
nel punto C l'energia cinetica ha una parte traslazionale (vel. v) e rotazionale (vel. ang.
[math]\omega[/math]
); ad altezza
[math]h_2[/math]
l'energia cinetica traslazionale si e` trasformata in potenziale, quella rotazionale e` rimasta invariata

[math]\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I\omega^2+mgr_2=mgh_2+\frac{1}{2}I\omega^2[/math]


[math]\frac{1}{2}mv^2=mg(h_2-r_2)[/math]


[math]h_2=r_2+\frac{v^2}{2g}[/math]

(come vedi,
[math]h_2[/math]
e` indipendente dall'angolo di inclinazione del tratto CD, che infatti non e` specificato)

d) Se hai risolto il punto b dovresti avere trovato le equazioni necessarie:


[math]f_a=\frac{Ia}{r_2^2}\le \mu_s m g \cos\theta[/math]


[math]\cos\theta \ge \frac{Ia}{r_2^2\mu_s m g}[/math]


basta fare un po' di semplificazioni, metterci i numeri e calcolare.

Se qualcosa non e` chiaro, chiedi.

Aggiunto 1 giorno più tardi:

Ciao, ti segnalo che nella risoluzione che ho messo precedentemente c'e` un errore nel calcolo di v del punto b:

nella conservazione dell'energia bisogna tenere presente che il centro di massa parte da quota h_1 ed arriva nel punto C a quota r_2, e non 0!

Quindi la formula che da` v deve essere corretta (ho gia` modificato il mio post precedente: ora la formula e` quella giusta).

Anche nel punto c bisogna fare questa correzione (l'ho gia` fatta)

Nel punto d non cambia nulla dal punto di vista delle formule, i calcoli numerici invece devono essere rifatti perche' il valore di v_C cambia.

Scusa per il pasticcio, spero che ora sia chiaro.
rino.f.95
rino.f.95 - Erectus - 65 Punti
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Ero riuscito a trovare tutti gli altri punti mi mancava solo il punto c), ecco non tenevo conto che il secondo tratto fosse privo di attrito statico cosi ché la palla rotolasse slittando per tutta la durata di CD, per questo non me lo spiegavo!
Davvero esauriente e gentilissimo!! Ti ringrazio !!
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