rossiandrea
rossiandrea - Eliminato - 298 Punti
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Ciao a tutti,
ho trovato questo tra gli esempi di prove...

Il circuito in figura è composto da un condensatore (capacità C = 1 μFarad), da una pila che eroga una ddp V = 2Volts e da due interruttori T1 e T2.


Gli interruttori sono aperti e chiusi (0 = aperto, 1 = chiuso) secondo la seguente dipendenza
temporale: (immagine precedente, secondo disegno)

i. Quanta energia è immagazzinata nel condensatore in funzione del tempo t?
ii. Quanta energia eroga la pila fra 0 e 5 μs?
iii. Quanto e dove si potrebbero osservare delle scintille, sintomi di dissipazione istantanea di energia?
iv. Provate ad inventare un circuito, composto da due condensatori uguali di capacità C = 1F, una pila che eroghi una ddp V = 2Volts e da non più di 5 interruttori, che sia in grado di fornire, per alcuni istanti di tempo, una ddp di 4 Volts fra due suoi punti.
Disegnatene lo schema elettrico e fornite le sequenze temporali di apertura/chiusura degli interruttori.

È terribilmente difficile per me, comunque ci ho provato. Aiutatemi dove sbaglio e dove non sono riuscito, per favore.

i)
[math]t_0: W = \frac{1}{2} C \Delta V^2 = \frac{1}{2} 10^{-6} F 4 V^2 = 2 \cdot 10^6 J \\
t_1: \frac{1}{C_eq} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{10^{-6} F} \\
W = \frac{1}{4} 10^{-6} F \cdot 4 V^2 = 10^{-6} J \\
t_2: W = 0; \\
t_3 = t_1 \\
t_4 = t_0 \\
t_0 + t_1 + t_2 + t_3 = 2 \cdot 10^{-6} J + 10^{-6} J + 10^{-6} J = 4 \cdot 10^{-6} J \\
[/math]


ii)
[math]t_0 + t_1 + t_2 + t_3 + t_4 = 6 \cdot 10^{-6} J \\[/math]


iii) tra
[math] t_1[/math]
e
[math]t_2[/math]
???

iv) ???
mc2
mc2 - Genius - 14260 Punti
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Ciao,
la figura non e` molto chiara, se ci clicco sopra non succede niente e tutto e` piccolissimo. Non sono sicura quindi di avere capito bene il problema (che, per la verita`, non mi sembra ben formulato).

Mi sembra di capire che T_1 e` l'interruttore nel ramo verticale (parallelo al condensatore), T_2 e` quello nel ramo orizzontale.
E` cosi`?

Venendo alle tue soluzioni:
W a t0 e` ok, ma ti sei dimenticato un segno meno ad esponente:
[math]2\cdot 10^{-6}~J[/math]
(ma e` chiaro che e` solo una svista).

Cosa hai fatto a t1? L'equazione che hai scritto non ha senso. Dove sono i due condensatori? io ne vedo solo uno. Da quel che mi sembra di capire dalla figura, con i due interruttori entrambi chiusi, il condensatore e` "cortocircuitato", perche' la d.d.p. nel ramo ad esso parallelo e` nulla (non c'e` nessuna resistenza). Quindi
[math]W(t_1)=0[/math]
.
Al tempo t2 il condensatore e` scarico, quindi hai scritto bene:
[math]W(t_2)=0[/math]

A t3 il circuito e` come a t2, ma il condensatore resta scarico, energia 0.

A t4 torna come nello stato iniziale a t0.

L'ultima equazione che hai scritto fa venire i brividi:

[math]t_0+t_1+t_2+t_3=...=4\cdot 10^{-6}~J[/math]
che cosa vuol dire?????
Una somma di tempi uguagliata ad un'energia??? Non ha nessun senso...

In fisica non si scrive MAI un'uguaglianza tra grandezze diverse. Puoi scrivere un'uguaglianza tra energie, tra i tempi, tra delle lunghezze, tra masse, ma non si mescolano mai le cose!!!

Regola pratica: guarda le unita` di misura: se i due membri di un'equazione hanno unita` di misura diverse (nel tuo caso: il primo membro si misura in secondi, il secondo in J), vuol dire che quell'equazione e` sicuramente sbagliata! Non ha nessun senso fisico.

Seconda domanda: la d.d.p. erogata dalla pila e` sempre identica all'energia immagazzinata nel condensatore.

Terza domanda: le scintille si possono avere quando c'e` una variazione brusca di corrente, cioe` quando si apre e chiude T_2.

Per l'ultima domanda: io lascerei il circuito esattamente cosi` ma metterei i due condensatori in parallelo al posto del condensatore singolo. La capacita` equivalente sarebbe cosi`
[math]C_{eq}=2C=4~\mu F[/math]
.
La sequenza temporale resta cosi` identica, ma l'energia accumulata nel condensatore carico raddoppia.
rossiandrea
rossiandrea - Eliminato - 298 Punti
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Ciao,
grazie della risposta. Ho bisogno di un po' di tempo per capire bene come funziona. Sono ancora alle prime armi...
Scusa per il disegno, la prossima volta lo metterò più grande. Comunque l'hai interpretato correttamente.

t0: il segno meno all'esponente era una svista (non avevo messo le parentesi graffe per l'esponente col segno meno e, ripassandole, devo aver cancellato inavvertitamente il meno).

t1: non mi è chiaro il meccanismo del cortocircuito. In pratica, se seguo la prima legge di Ohm
[math]R = \frac{\Delta V}{I}[/math]

trovo che l'intensità di corrente è infinita in assenza di resistenze. Un conto è applicare le formule, ma un conto è capire il funzionamento, e questo non mi è chiaro :( .
La mia domanda è: la pila genera 9 V di d.d.p. La corrente passa solo nel circuito corto e in quello "lungo" dove c'è C non passano elettroni?
Se è così, perché quando si collega qualcosa in parallelo, la corrente passa da entrambe le parti e non solo da quella con resistenza, o lunghezza non so, minore?

Scusa per l'equazione che fa venire i brividi. Mi vergogno per la mia imprecisione. Intendevo indicare la somma delle energie trovate. Avrei dovuto scrivere
[math]W_{t0} + W_{t1} + ...[/math]

È quello che intendevo dire. La somma di tutte le energie che avevo trovato prima. Scusa dell'obbrobrio!

Seconda domanda. La d.d.p è sempre identica all'energia immagazzinata nel condensatore. Ma quando entrambi gli interruttori sono chiusi la corrente elettrica passa per il cortocircuito (ho capito bene?). Quindi dovrebbe rimanere, sempre per la prima legge di Ohm: R = 0 perché non ci sono resistenze, d.d.p = 9 V perché è la differenza di potenziale della pila e I tendente all'infinito, come conseguenza della mancanza di resistenze. Quindi la d.d.p = 9 V ma l'energia erogata abbiamo detto che è nulla. Se non ho capito un tubo, ti prego di chiarirmi le idee.

Per la quarta domanda, prima di dire altre cavolate è meglio che capisca le altre tre...
Grazie per la pazienza!!!
mc2
mc2 - Genius - 14260 Punti
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Rispondo nell'ordine:

La legge di Ohm si scrive
[math]\Delta V=RI[/math]
, se R=0 e` ovvio che
[math]\Delta V=0[/math]
. Poi se R o I sono diverse da zero, si possono portare a denominatore, altrimenti no.
Per capire bene cosa succede nel circuito devi tenere in mente una cosa: la corrente circola tra due punti se c'e` una differenza di potenziale. Se in un circuito tutti i punti sono allo stesso potenziale, non circola niente!

Quando T_2 e` chiuso e T_1 e` aperto, il condensatore si carica: vuol dire che le cariche elettriche libere si accumulano sulle sue armature (da una parte avrai un eccesso di elettroni, dall'altra avrai mancanza di elettroni e quindi un eccesso di cariche positive), creando una d.d.p. uguale e contraria a quella del generatore: in queste condizioni non circola corrente nel circuito, e l'energia del generatore si "ritrova" come energia immagazzinata nel condensatore.

Quando il condensatore e` cortocircuitato la d.d.p. ai suoi capi e` nulla, quindi e` scarico. In pratica, appena T1 si chiude, il condensatore si scarica attraverso di esso (gli elettroni in piu` da una parte corrono dall'altra e le armature tornano neutre). Il generatore si ritrova con un circuito in cui non c'e` resistenza e quindi non c'e` caduta di potenziale, e neanche corrente: l'energia erogata e` zero.
Ovviamente questo e` un caso irrealistico: non esiste un circuito con resistenza nulla!

In un collegamento in parallelo la caduta di potenziale in tutti i rami del parallelo e` la stessa, e la corrente si divide in conseguenza: se nei due rami in parallelo ci sono resistenze R_1 ed R_2 la corrente si divide in
[math]I_1[/math]
e
[math]I_2[/math]
(con
[math]I_1+I_2=I_{tot}[/math]
) tali che
[math]R_1I_1=R_2I_2[/math]
, cosi` la corrente e` piu` intensa nel ramo con la resistenza minore.
Un condensatore ideale, carico, oppone una resistenza infinita: nel suo ramo I=0.
rossiandrea
rossiandrea - Eliminato - 298 Punti
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Grazie mille mc2, alcune cose mi si sono chiarite, altre no :p .

Riguardo al primo paragrafo. La legge di Ohm come l'hai scritta tu è più razionale. Sul mio libro non è chiara e su Wikipedia è
[math]R = \frac{V}{I}[/math]
.
Comunque sia, ho capito che se R = 0 allora
[math]\Delta V = 0[/math]
.
Ma non mi è chiaro in che senso devo ragionare. Le implicazioni logiche funzionano in entrambi i sensi oppure no?
È corretto dire se
[math]R = x[/math]
allora
[math]\Delta V = y[/math]
?
Oppure se
[math]\Delta V = y[/math]
allora R = x ?
Oppure se
[math]\Delta V = x[/math]
e
[math]R = y[/math]
allora
[math]I = z[/math]
?
[math]\Delta V[/math]
non è dato dalla pila? Nel senso: la pila ha una d.d.p. tra il polo + e il polo - che è di 9 V, giusto?
Quindi se
[math]\Delta V = 9 V[/math]
e R = 0 perché la resistenza nel circuito è nulla, l'intensità di corrente non tende a infinito?
Quando immagino un cortocircuito, immagino un'intensità di corrente elevatissima. È corretto?
O questo avviene solo in pratica perché in realtà la resistenza non è mai nulla e quindi, a resistenza bassissima, mantenendosi inalterata la d.d.p, l'intensità di corrente schizza alle stelle?

Per quanto riguarda il terzo paragrafo avrei una domanda.
Quando T_1 si chiude, C si scarica.
Questo avviene anche nel caso T_1 e C fossero scambiati di posto? Il mio dubbio infatti è: la corrente predilige il percorso breve, indipendentemente dal fatto che ci sia un interruttore e un condensatore, oppure predilige l'interruttore al condensatore indipendentemente dalla lunghezza del circuito?
mc2
mc2 - Genius - 14260 Punti
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Comunque sia, ho capito che se R = 0 allora
[math]\Delta V = 0[/math]
.
Ma non mi è chiaro in che senso devo ragionare. Le implicazioni logiche funzionano in entrambi i sensi oppure no?
È corretto dire se
[math]R = x[/math]
allora
[math]\Delta V = y[/math]
?
Oppure se
[math]\Delta V = y[/math]
allora R = x ?
Oppure se
[math]\Delta V = x[/math]
e
[math]R = y[/math]
allora
[math]I = z[/math]
?

Se le grandezze V, R ed I sono non nulle, sicuramente vale V=RI, qui non ci piove. Date due qualsiasi delle tre, ti ricavi la terza.

[math]\Delta V[/math]
non è dato dalla pila? Nel senso: la pila ha una d.d.p. tra il polo + e il polo - che è di 9 V, giusto?
Quindi se
[math]\Delta V = 9 V[/math]
e R = 0 perché la resistenza nel circuito è nulla, l'intensità di corrente non tende a infinito?
Quando immagino un cortocircuito, immagino un'intensità di corrente elevatissima. È corretto?
O questo avviene solo in pratica perché in realtà la resistenza non è mai nulla e quindi, a resistenza bassissima, mantenendosi inalterata la d.d.p, l'intensità di corrente schizza alle stelle?

In pratica ti sei risposto da solo. La resistenza nulla non esiste, quindi questo e` un caso ideale non realistico. Il generatore genera una d.d.p. di 9 V se i suoi poli vengono collegati a punti a potenziale diverso. Se vengono collegati tra loro, un generatore reale si scarica da solo (ha sempre una resistenza interna). Un generatore ideale produrrebbe una corrente infinita, il che e` assurdo (per questo motivo secondo me il problema non e` ben formulato).

Per quanto riguarda il terzo paragrafo avrei una domanda.
Quando T_1 si chiude, C si scarica.
Questo avviene anche nel caso T_1 e C fossero scambiati di posto? Il mio dubbio infatti è: la corrente predilige il percorso breve, indipendentemente dal fatto che ci sia un interruttore e un condensatore, oppure predilige l'interruttore al condensatore indipendentemente dalla lunghezza del circuito?

Certo: se scambi T1 e C tra loro non cambia nulla.
La lunghezza "geometrica" del filo e` irrilevante (se la sua resistenza e` zero, come in questo caso). Non importa quanto lo disegni lungo: puoi fargli fare due volte il giro della Terra, o farlo passare sull'altra faccia della Luna...
rossiandrea
rossiandrea - Eliminato - 298 Punti
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OK, grazie. Ora ho capito.
Passo alla quarta domanda:
Provate ad inventare un circuito, composto da due condensatori uguali di capacità C = 1F, una pila che eroghi una ddp V = 2Volts e da non più di 5 interruttori, che sia in grado di fornire, per alcuni istanti di tempo, una ddp di 4 Volts fra due suoi punti.
Disegnatene lo schema elettrico e fornite le sequenze temporali di apertura/chiusura degli interruttori.
Per l'ultima domanda: io lascerei il circuito esattamente cosi` ma metterei i due condensatori in parallelo al posto del condensatore singolo. La capacita` equivalente sarebbe cosi` Ceq=2C=4 μF
.
La sequenza temporale resta cosi` identica, ma l'energia accumulata nel condensatore carico raddoppia.
Abbiamo:
2 condensatori da C = 1 μF;
pila da
[math]\Delta V = 2 V[/math]


Dobbiamo trovare come fare per raggiungere una d.d.p = 4 V
Con i condensatori in parallelo la C_eq = 4 μF
Se ho capito bene dal capitolo sulla corrente elettrica, con i componenti in serie ho la stessa intensità di corrente, mentre con i componenti in parallelo rimane invariata la d.d.p. Quindi, in questo caso, la d.d.p dovrebbe restare invariata uguale a 2 V. Ma invece dovrei riuscire a trovare un modo per aumentare la d.d.p. a 4 V. Ho sbagliato qualcosa?
Il percorso è arduo ma piano piano sto demolendo tanti miei dubbi.
Grazie mille!
:)
mc2
mc2 - Genius - 14260 Punti
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Hai ragione, con la mia modifica si raddoppia l'energia immagazzinata nei condensatori, non la d.d.p.

Bisogna pensarci su...

Aggiunto 33 minuti più tardi:

Forse un modo e` questo. Con gli interruttori in posizione opportuna si carica un condensatore alla volta alla d.d.p di 2 V.

Poi con un'altra opportuna combinazione di interruttori si ottiene la serie tra i due condensatori

Ti lascio il divertimento...

fis-18-4-16.pdf (3 kB, 11 Downloads)
rossiandrea
rossiandrea - Eliminato - 298 Punti
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Ci sto ragionando ma non mi torna qualcosa.

Per esempio:
chiudo gli interruttori 1, 2, 3, 5.
La corrente passa per il punto 2 perché R = 0 e si carica il condensatore tra 3 e 5 (quello in basso). La carica vale
[math]Q = C \Delta V = 10^{-6} F \cdot 2 V = 2 \cdot 10^{-6} C[/math]


Poi chiudo gli interruttori 1, 3, 4, 5. Aperto: 2
La corrente carica il condensatore in alto che vale quanto il primo.

A questo punto chiudo i condensatori 2, 4. Aperti: 1, 3, 5

I condensatori sono in serie quindi devo sommare l'inverso delle capacità che diventa
[math]0,5 \cdot 10^{-6}\ F[/math]
.
A quel punto la d.d.p = Q/C
Q sarebbe la somma delle quantità di carica dei due condensatori? Conosco la resistenza equivalente e la capacità equivalente, ma la quantità di carica equivalente non l'ho mai sentita :p . La quantità di carica, ragionandoci, mi viene da pensare che sia la somma del numero degli elettroni, quindi che sia da sommare, quindi
[math]Q = 4 \cdot 10^{-6} C[/math]
In quel caso:
[math]\Delta V = Q/C = \frac{4 \cdot 10^{-6} C}{0,5 \cdot 10^{-6} F} = 8 V[/math]
Troppo!
È meglio che non faccio esperimenti in casa, vista la mia preparazione, altrimenti salta tutto in aria :D
mc2
mc2 - Genius - 14260 Punti
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In due condensatori in serie la carica non si somma!
Su un condensatore le cariche sulle armature sono +Q e -Q, sul successivo sono +Q e -Q, eccetera se ci sono altri condensatori.

Le d.d.p. si sommano.

Pero` c'e` ancora qualcosa che non torna... ci devo pensare
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