Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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Determinare il centro di massa di un cilindro circolare retto di altezza h la cui densità diminuisce uniformemente passando dal valore
[math]\rho[/math]
in corrispondenza della base inferiore al valore
[math]\frac{\rho}{2}[/math]
in corrispondenza di quella superiore.
* * *
Due particelle con masse m1 e m2 collidono elasticamente con velocità scalari che nelle coordinate del centro di massa sono date da
[math]u_1'[/math]
e
[math]u_2'[/math]
. a) Determinare i valori delle velocità di rinculo
[math]v_1'[/math]
e
[math]v_2'[/math]
. b) Se le particelle rinculano formando un angolo
[math]\theta'[/math]
rispetto alle loro direzioni iniziali che valori assumono le velocità di rinculo
[math]v_1'[/math]
e
[math]v_2'[/math]
? c) Per un osservatore stazionario m2 inizialmente è in quiete ma il centreo di massa del sistema è in moto con una velocità costante V parallelamente alla direzione iniziale di m1. Che relazione esiste tra v1' e V? d) Che valore ha l'angolo di rinculo
[math] \theta[/math]
della particella m1 per questo osservatore?
Aggiunto 20 ore 17 minuti più tardi:

"Ma
[math]\rho (r)[/math]
sappiamo essere funzione di r:
[math]\rho (r)=\frac{\rho-\frac{\rho}{2}}{h}\cdot r[/math]
"

Come hai ottenuto questo?

Aggiunto 2 minuti più tardi:

Da dove hai dedotto il "Rho(r)"?

Aggiunto 1 giorni più tardi:

QUESTA SI CHE SI CHIAMA RISPOSTAAAAAAAAAAAAA!!!!!
Vi ringrazio tutti! Andiamo al 2).

Aggiunto 2 giorni più tardi:

Piccola digressione. Calcolare il centro di massa di un cono retto di altezza h e di diametro di base d.

A me viene 1/3 h mentre il libro sostiene che è 1/4 h. Chi ha ragione? Ps Ho integrato per strati nella seguente maniera
[math] y_c = \frac{\int_0^h {rdm}}{M} [/math]
sostituendo
[math] dm = \rho dV [/math]
e semplificando mi viene
[math] y_c=\frac{\int_0^h{rdV}}{\int_0^h{dV}} [/math]
Avendosi
[math] dV= R(h)^2\pi dr[/math]
dove R(h) è il raggio in funzione dell'altezza (infatti R diminuisce con l'aumentare dell'altezza). Quest'ultimo me lo sono calcolato e viene
[math] R(h)=-\frac{d}{2h} r+\frac{d}{2} [/math]
L'integrale finale, semplificate le costanti, dunque sarebbe
[math] y_c=\frac{\int_0^h{r-\frac{r^2}{h} dr}}{\int_0^h{1-\frac{r}{h} dr}}[/math]

che calcolato verrebbe
[math] \frac{1}{3}h[/math]
in disaccordo col libro.
Aggiunto 12 ore 40 minuti più tardi:

Oddio non capisco cosa vuoi dire. Il libro mi dà in coordinate CARTESIANE
[math]y_c=\frac{1}{4}h[/math]
eppure nel mio ragionamento non ci trovo nulla di sbagliato sembra filare tutto perfettamente! Ho ipotizzato che il raggio di ogni singola "fetta" descresca LINEARMENTE man mano che r cresce! E' un procedimento analogo a quello che mi ha insegnato ciampax...
[math] R(r) = ar+b \\ R(0) = \frac{d}{2} \rightarrow b=\frac{d}{2}\\R(h)=0 \rightarrow
ah+b=ah+\frac{d}{2}=0 \rightarrow a=-\frac{d}{2h}[/math]
da cui
[math] R(r)= \frac{d}{2h}(1-\frac{1}{h}r)[/math]
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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# Newton_1372 : Determinare il centro di massa di un cilindro circolare retto di altezza h la cui densità diminuisce uniformemente passando dal valore
[math]\rho[/math]
in corrispondenza della base inferiore al valore
[math]\frac{\rho}{2}[/math]
in corrispondenza di quella superiore.
[...]

Da dove hai dedotto il "Rho(r)"?


[math] f(0) = \rho \\ f(h) = \frac{\rho}{2} [/math]

devi cercare una funzione decrescente (al crescere di r) che soddisfi le condizioni sopra:
[math] f(r) = \frac{\rho h}{h+r} [/math]

Aggiunto 2 giorni più tardi:

Aggiunto 2 giorni più tardi:

Piccola digressione. Calcolare il centro di massa di un cono retto di altezza h e di diametro di base d.

A me viene 1/3 h mentre il libro sostiene che è 1/4 h. Chi ha ragione? Ps Ho integrato per strati nella seguente maniera

[math] y_c = \frac{\int_0^h {rdm}}{M} [/math]
sostituendo
[math] dm = \rho dV [/math]
e semplificando mi viene
[math] y_c=\frac{\int_0^h{rdV}}{\int_0^h{dV}} [/math]
Avendosi
[math] dV= R(h)^2\pi dr[/math]
dove R(h) è il raggio in funzione dell'altezza (infatti R diminuisce con l'aumentare dell'altezza). Quest'ultimo me lo sono calcolato e viene
[math] R(h)=-\frac{d}{2h} r+\frac{d}{2} [/math]
L'integrale finale, semplificate le costanti, dunque sarebbe
[math] y_c=\frac{\int_0^h{r-\frac{r^2}{h} dr}}{\int_0^h{1-\frac{r}{h} dr}}[/math]

che calcolato verrebbe
[math] \frac{1}{3}h[/math]
in disaccordo col libro.
[/quote]

no, il libro ti dà il risultato corretto, sbagli la limitazione. stai usando delle notazioni che ti inducono all'errore: chiama le cose col loro nome (coordinate cilindriche) e risolvi i problemi. R non è funzione di h, ma di r, nella tua notazione. in coordinate cilindriche significa che

[math] \rho [/math]
(=R) è funzione di
[math]z[/math]
(=r). la limitazione superiore per
[math] \rho [/math]
è determinata dalla retta
[math] z = \frac hd \rho + h [/math]
[math]y_c[/math]
dovrebbe essere
[math] r_c [/math]
, ma in coordinate cilindriche si chiama
[math]z_c[/math]

Aggiunto 1 ore 13 minuti più tardi:

-------------------------------------------------------------
(non capisco più niente con questo sistema di rispondere, ho fatto una linea)
sei sicuro che d sia il diametro? perchè per sbaglio l'ho preso come raggio e torna come sul libro, quindi penso sia un errore di stampa
ho pure sbagliato un conto.. ti faccio sapere tra poco che ho un attimo da fare adesso

------------------------------------------------------------

ok, il risultato esce sempre come sul libro anche dopo aver corretto il raggio (perchè il centro di massa è indipendente da esso).
ma vi hanno spiegato gli integrali multipli (tripli) prima di darvi questi problemi? la limitazione per il raggio è

[math] R(r) = (r-h)(- \frac d{2h})[/math]
, quindi dovresti integrare
[math]\pi r(R(r))^2 [/math]
tra 0 ed h (altezza del cono), nella variabile r, e dividere per il volume.
secondo me non è una cosa che si può spiegare su due piedi, c'è un teorema (di pappo) sui solidi di rotazione che spiega come calcolarsi i volumi come nel tuo caso. meglio se aspetti ciampax per ulteriori delucidazioni
ciampax
ciampax - Tutor - 29293 Punti
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Sì, ma spiegateli come lo calcolate! :asd Newton, visto che la densità diminuisce in maniera uniforme, vuol dire che essa è una funzione lineare dell'altezza (che hanno chiamato

[math]r[/math]
) a cui ti trovi nel cilindro. Hai quindi una funzione
[math]\rho(r)=a r+b,\qquad \qquad 0\leq r\leq h[/math]

dove
[math]a,b[/math]
sono costanti da determinare. Se imponi le condizioni
[math]\rho(0)=\rho,\ \rho(h)=\rho/2[/math]
segue
[math]b=\rho,\qquad ah+b=\rho/2[/math]

da cui
[math]b=\rho,\ a=-\rho/(2h)[/math]
. Io userei questa, piuttosto che quella scritta da The Track. Quindi
[math]\rho(r)=-\frac{\rho}{2h}\ r+\rho=\frac{\rho}{2h}(2h-r)[/math]

Ora, per la massa abbiamo, essendo il volume del cilindro
[math]V(r)=\pi R^2 r[/math]
dove
[math]R[/math]
è il raggio di base,
[math]M=\int_0^h \frac{\rho}{2h}(2h-r)\ \pi R^2\ dr=\frac{\pi\rho R^2}{2h}\int_0^h (2h-r)\ dr=\frac{\pi\rho R^2}{2h}\left[2hr-\frac{r^2}{2}\right]_0^h=\\
=\frac{\pi\rho R^2}{2h}\left(2h^2-\frac{h^2}{2}\right)=\frac{\pi\rho R^2}{2h}\cdot\frac{3h^2}{2}=\frac{3\pi\rho R^2 h}{4}[/math]

e quindi
[math]z_{CM}=\frac{1}{M}\int_0^h r\ \frac{\rho}{2h}(2h-r)\ \pi R^2\ dr=\frac{\pi\rho R^2}{2h M}\int_0^h(2hr-r^2)\ dr=\frac{4\pi\rho R^2}{2h 3\pi\rho R^2 h}\left[hr^2-\frac{r^3}{3}\right]_0^h=\\
=\frac{2}{3h^2}\cdot\left(h^3-\frac{h^3}{3}\right)=\frac{2}{3h^2}\cdot\frac{2h^3}{3}=\frac{4}{9}\ h[/math]

Aggiunto 2 ore più tardi:

Problema 2: dire che le due masse collidono con velocità

[math]u_1',\ u_2'[/math]
rispetto al centro di massa, vuol dire che puoi ipotizzare fermo quest'ultimo (come se le sue coordinate fossero quelle dell'origine del sistema di riferimento) e supporre che le due particelle si muovano lungo l'asse x con velocità
[math]u_1', u_2'[/math]
. Poiché in tale sistema il centro di massa risulta fermo, segue che
[math]m_1 u_1'+m_2 u_2'=m_1 v_1'+m_2 v_2'=0[/math]

e quindi
[math]u_1'=-\frac{m_2}{m_1} u_2',\ v_1'=-\frac{m_2}{m_1} v_2'[/math]
. Inoltre dall'equazione della conservazione dell'energia segue
[math]m_1 (u_1')^2+m_2 (u_2')^2=m_1(v_1')^2+m_2 (v_2')^2[/math]

e sostituendo
[math]\frac{m_2^2 (u_2')^2}{m_1}+m_2 (u_2')^2=\frac{m_2 (v_2')^2}{m_1}+m_2 (v_2')^2[/math]

[math]m_2(u_2')^2\cdot(m_1+m_2)=m_2(v_2')^2\cdot(m_2+m_1)[/math]

e quindi
[math](u_2')^2=(v_2')^2[/math]
da cui
[math]u_2'=\pm v_2'[/math]
. Poiché avviene urto, dobbiamo scartare la soluzione positiva e considerare solo quella negativa. Segue che
[math]u_2'=-v_2'[/math]
e analogamente
[math]u_1'=-v_1'[/math]
.
Per il resto ti faccio sapere, che ora ho da fare.
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