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  • Calcolare la differenza di potenziale tra il centro e la superficie di una sfera

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refranco
refranco - Habilis - 178 Punti
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salve avrei bisogno del vostro aiuto con questo esercizio di fisica.

Una carica di 1nC è distribuita all'interno di una sfera di raggio pari a 30cm in modo che la densità volumetrica di carica sia proporzionale alla distanza dal centro.
Calcolare la differenza di potenziale tra il centro e la superficie della sfera.

ho difficoltà nell'iniziare l'esercizio.
se mi potete aiutare a risolverlo.
grazie.
mc2
mc2 - Genius - 14217 Punti
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Per impostare l'esercizio devi ricavare la distribuzione di carica nel volume della sfera.


Sia R=0.30 m il raggio della sfera e q=1 nC la sua carica totale.


La densita` volumetrica e` proporzionale alla distanza r dal centro:

[math]\rho(r)=ar[/math]


Integrando la densita` sul volume della sfera si deve ottenere la carica totale:

[math]q=\int_0^R\rho(r)\,4\pi r^2 dr=4\pi a\int_0^Rr^3 dr=
\pi a R^4
[/math]

invertendo questa relazione di ottiene
[math]a[/math]
e quindi l'espressione della densita`:
[math]a=\frac{q}{\pi R^4}[/math]
,
[math]\rho(r)=\frac{q}{\pi R^4}r[/math]


Dopodiche` ottieni facilmente il campo elettrico con la legge di Gauss e, integrando, trovi il potenziale.
refranco
refranco - Habilis - 178 Punti
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fin qui mi è tutto chiaro.

Quindi abbiamo che

[math]q(r)= \pi a r^4[/math]

in particolare quando r è uguale a R, si ha

[math]Q= q(R)= \pi a R^4[/math]

dove Q indica la carica della distribuzione; pertanto segue che

[math]q(r)=\frac{Q}{R^{4}}r^{4}[/math]

ora come applico la legge di gauss per trovare il campo elettrico e successivamente il potenziale.

se mi potresti dare una mano.
grazie.
mc2
mc2 - Genius - 14217 Punti
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Per simmetria il campo elettrico e` diretto radialmente.

Legge di Gauss: il flusso di E attraverso una superficie sferica di raggio r (
[math]\le R[/math]
) e` uguale alla carica elettrica contenuta dentro la superficie diviso
[math]\varepsilon_0[/math]
:

[math]4\pi r^2E(r)=\frac{1}{\varepsilon_0}
\int_0^r \rho(r')\,4\pi {r'}^2 dr'=
\frac{1}{\varepsilon_0} \int_0^r \frac{q}{\pi R^4}r'\,\,4\pi {r'}^2 dr'=
[/math]
[math]=\frac{4q}{\varepsilon_0R^4} \int_0^r {r'}^3 dr'=\frac{q\,r^4}{\varepsilon_0R^4}
[/math]

quindi

[math]E(r)=\frac{q\,r^2}{4\pi\varepsilon_0R^4}[/math]


[math]\Delta V=\int_0^R \vec{E}\cdot d\vec{r}=
\int_0^R \frac{q\,r^2}{4\pi\varepsilon_0R^4}dr=\frac{q}{12\pi\varepsilon_0R}
[/math]
refranco
refranco - Habilis - 178 Punti
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va bene..
un'ultima dubbio come hai risolto l'integrale riguardo alla differenza di potenziale..
se me lo potresti scrivere.
grazie.
mc2
mc2 - Genius - 14217 Punti
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[math]\vec{E}[/math]
e
[math]\vec{r}[/math]
sono vettori paralleli, perche' il campo elettrico e` radiale. Il prodotto scalare e` semplicemente
[math]E\,dr[/math]
e poi basta integrare rispetto r
refranco
refranco - Habilis - 178 Punti
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OK va bene..
grazie mille.
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