• Fisica
  • calcolare il valore della resistenza R

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insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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ciao vorrei avere il vostro aiuto con il seguente esercizio.

Nel circuito di figura,
in cui R1 vale 50Ω, R2 vale 100Ω e R3 vale 150Ω, si stabilisca il valore da attribuire alla resistenza R in maniera tale che la corrente che scorre attraverso R2 quando gli interruttori T1 e T2 sono entrambi chiusi sia la metà della corrente che scorre attraverso la stessa resistenza quanto tali interruttori risultano entrambi aperti.

scusate ma non sto riuscendo riesco a capire il problema.
se mi potete aiutare e spiegare come fare.
grazie.
mc2
mc2 - Genius - 14257 Punti
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Premetto che la figura e` molto sfuocata e non sono sicura di leggere bene gli indici delle resistenze. Per favore, la prossima volta metti una figura piu` chiara!


Consideriamo prima il circuito con i due interruttori aperti:
la corrente passa nelle resistenze R_1, R_2 ed R_3 che sono collegate in serie.

La resistenza equivalente e`
[math]R_{eq}=R_1+R_2+R_3[/math]
e la corrente che passa in R_2 e` la stessa di tutto il circuito:
[math]I_2=V/R_{eq}[/math]


Consideriamo ora i due interruttori chiusi: R_1 e` cortocircuitata ed e` come se non ci fosse. Allora il circuito e` costituito da R_3 collegato in serie con
R ed R_2 (collegate tra loro in parallelo).

La resistenza equivalente ora e`:

[math]R'_{eq}=R_3+\frac{RR_2}{R+R_2}=\frac{R_3(R+R_2)+RR_2}{R+R_2}[/math]

Chiamo
[math]I'_3[/math]
la corrente che passa in R_3,
[math]I'_2[/math]
la corrente che passa in R_2,
[math]I'[/math]
la corrente che passa in R.
La corrente
[math]I'_3[/math]
si divide nel parallelo, e deve valere :
[math]I'_3=I'_2+I'[/math]


Ma nel parallelo tra R_2 ed R la d.d.p. deve essere uguale:
[math]I'_2R_2=I'R[/math]
,
da cui ricavo
[math]I'=I'_2\frac{R_2}{R}[/math]

e sostituendo:

[math]I'_3=I'_2+I'_2\frac{R_2}{R}=I'_2\frac{R_2+R}{R}[/math]

La corrente
[math]I'_3[/math]
e` quella di tutto il circuito:
[math]I'_3=V/R'_{eq}[/math]

quindi

[math]I'_2=I'_3\frac{R}{R_2+R}=\frac{V}{R'_{eq}}\frac{R}{R_2+R}[/math]


Il testo del problema dice che si deve avere:
[math]I'_2=\frac{1}{2}I_2[/math]


Sostituendo le espressioni per le resistenze equivalenti, puoi ricavarti R.
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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Allora quindi sostituendo ottengo

[math]\frac{1}{2}I_{2}=\frac{V}{R'_{eq}}\frac{R}{R_2+R}[/math]

[math]\frac{1}{2}\frac{V}{R_{eq}}=\frac{V}{R'_{eq}}\frac{R}{R_2+R}[/math]

[math]\frac{1}{2}\frac{V}{R_1+R_2+R_3}=\frac{V}{\frac{R_3(R+R_2)+RR_2}{R+R_2}}\frac{R}{R_2+R}[/math]


[math]\frac{1}{2}\frac{V}{R_1+R_2+R_3}=\frac{VR}{R_3(R+R_2)+RR_2}[/math]

qui mi sono bloccato e non riesco a continuare con i calcoli
se mi puoi aiutare.
grazie.
mc2
mc2 - Genius - 14257 Punti
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Semplifica la V e fai il minimo comune multiplo
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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scusami ma come faccio a semplificare la V.
sto impazzendo..
puoi dirmi.
grazie.
mc2
mc2 - Genius - 14257 Punti
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Dividi entrambi i membri per V
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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ok..
quindi abbiamo:
[math]\frac{1}{2}\frac{1}{R_1+R_2+R_3}=\frac{R}{R_3(R+R_2)+RR_2}[/math]

da cui otteniamo

[math]R=\frac{R_{2}R_{3}}{3R_{2}R_{3}}\approx 43\Omega [/math]

dimmi se è giusto.
grazie.
mc2
mc2 - Genius - 14257 Punti
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No, il risultato non e` giusto: si vede a colpo d'occhio che e` dimensionalmente sbagliato!

Il risultato dovrebbe essere
[math]R=\frac{R_2R_3}{2R_1+R_2+R_3}[/math]

Se hai solo sbagliato a scrivere la formula, allora va bene.
Altrimenti devi rifare i calcoli come si deve.

Piuttosto fai una foto della pagina con i calcoli cosi` vedo dove sbagli.
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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hai ragione ho sbagliato a scrivere..
quindi abbiamo che

[math]R=\frac{R_2R_3}{2R_1+R_2+R_3}[/math]

da cui , essendo
[math]R_2=2R_1 [/math]
, si ha:
[math]R=\frac{R_{2}R_{3}}{2R_{2}R_{3}}\approx 43\Omega[/math]

dimmi se ora è corretto.
grazie.
mc2
mc2 - Genius - 14257 Punti
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Continui a dimenticare il + a denominatore... cosi` ottieni una formula dimensionalmente sbagliata, che in un compito ti viene segnata come ERRORE GRAVE, anche se e` solo un errore di scrittura.

Ma il risultato numerico e` corretto.
insule23
insule23 - Sapiens - 528 Punti
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hai ragione e che mi dimenticare di digitarlo con LaTeX.

comunque grazie mille..
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