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  • Applicazioni della teoria degli errori

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Delta711
Delta711 - Sapiens - 320 Punti
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Ciao raga, potreste darmi un aiutino? Giusto per avere un po' più chiaro il procedimento da usare per problemi di questo tipo. Allora:

1) Calcola l'intervallo di attendibilità e la precisione del tempo impiegato a percorrere una determinata lunghezza. Dati:
1a misurazione (in sec): 1,723
2a misurazione (in sec): 1,726
3a misurazione (in sec): 1,730
4a misurazione (in sec): 1,725
5a misurazione (in sec): 1,724
6a misurazione (in sec): 1,721
7a misurazione (in sec): 1,729
8a misurazione (in sec): 1,733
9a misurazione (in sec): 1,733
10a misurazione (in sec): 1,727

2) Due serie di misure condotte sulla stessa grandezza hanno portato ai seguenti risultati:
L2=(1,2+-0,1)mm; L1=(1,1+-0,1)mm
Indica quale delle 2 serie di misure è la piuù precisa e spiega perchè.

3) Il volume di un oggetto metallico, dopo una serie di misure, è risultato V= (2,18+-0,04)cm^3 e la massa, misurata con una bilancia al centesimo di grammo, è di 17,15 g (mia domanda: è come se scrivessi 17,15+-0,01?). Determina la densità del metallo e l'incertezza del valore ottenuto.

Se possibile, rispondetemi in serata, se no al più tardi nel giro di 3/4/5 gg max. Ringrazio anticipatamente.

Questa risposta è stata cambiata da TeM (01-01-15 19:10, 2 anni 8 mesi 23 giorni )
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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1. In base al campione di misure elencate, si ha
[math]\bar{x} = 1.7271\,s[/math]
,
[math]s_{10}^2 = 0.0000167667\,s^2[/math]
,
[math]\frac{3}{\sqrt{10}}s_{10} = 0.00388458\,s[/math]
e
quindi segue che l'intervallo di confidenza (o di attendibilità, che
dir si voglia) è pari a
[math]\small (1.727 \pm 0.004)\,s[/math]
. Qualora fossimo inte-
ressati all'intervallo di incertezza, invece, va calcolato l'errore
assoluto
(o semidispersione):
[math]E_a := \frac{x_{max} - x_{min}}{2} = 0.006[/math]
e
quindi concludere scrivendo:
[math](1.727 \pm 0.006)\,s[/math]
. In entrambi
i casi la precisione, ossia il numero di cifre significative del valore
medio, è pari a
[math]4[/math]
. Nel caso dell'intervallo di incertezza, si defi-
nisce errore relativo:
[math]\small E_r := \frac{E_a}{\bar{x}} \approx 0.0035[/math]
a cui corrisponde un
errore percentuale pari a
[math]\small E_{\%} := E_r \cdot 100 \approx 0.35\%\\[/math]
.

2. Date la misure
[math]\small L_1 = (1.1 \pm 0.1)\,mm[/math]
ed
[math]\small L_2 = (1.2 \pm 0.2)\,mm[/math]
,
dal momento che
[math]\small E_r(L_1) := \frac{0.1}{1.1} \approx 0.09[/math]
ed
[math]\small E_r(L_2) := \frac{0.1}{1.2} \approx 0.08[/math]
e
quindi
[math]E_r(L_2) < E_r(L_1)[/math]
, la misura
[math]L_2[/math]
è più precisa rispetto
alla misura
[math]L_1\\[/math]
.

3. Noti
[math]\small V = (2.18 \pm 0.04)\,cm^3[/math]
ed
[math]\small m = (17.15\pm 0.01)\,g[/math]
di un oggetto
metallico, la densità media è pari a
[math]d := \frac{m}{V} \approx 7.86697\frac{g}{cm^3}[/math]
. Ora, ri-
cordando che nelle moltiplicazioni/divisioni a sommarsi sono gli errori re-
lativi, calcoliamo l'errore relativo della densità:
[math]E_r(d) = \frac{E_a(m)}{m} + \frac{E_r(V)}{V} \approx 0.0189317[/math]
e quindi il proprio errore asso-
luto (che è quello che ci interessa!!!!!):
[math]\\E_a(d) = E_r(d)\cdot d \approx 0.148935\frac{g}{cm^3}[/math]
.
Dunque, seguendo sempre le regole scritte nel mio post precedente, possiamo
concludere che
[math]d = (7.9 \pm 0.1)\frac{g}{cm^3}\\[/math]
.

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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1. Per contare le cifre significative di una misura occorre innanzitutto
individuare la cifra più significativa che sarà sempre la prima non nulla
a partire da sinistra, quindi individuare quella meno significativa che per
valori interi è la prima da destra diversa da zero mentre per valori con
parte frazionaria è l'ultima cifra a destra (anche se pari a zero). Le cifre
significative sono banalmente tutte quelle comprese tra le due appena
individuate.


2. In fisica, dato un campione di misure
[math]\small X := \{x_1,\,\dots,\,x_n\}[/math]
,
si definisce intervallo di confidenza:
[math]\bar{x} \pm \frac{3}{\sqrt{n}}s_n[/math]
, dove:
[math]\small \begin{aligned}\bar{x} := \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n x_i, \; \; s_n^2 := \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n \left(x_i - \bar{x}\right)^2, \; \; s_n := \sqrt{s_n^2}\end{aligned}\\[/math]
.

3. Data una misura
[math]\small x_i \pm \delta[/math]
si definiscono, rispettivamente, accuratezza di
[math]x_i[/math]
il numero di cifre significative alla destra della virgola e precisione di
[math]x_i\\[/math]
il numero totale delle proprie cifre significative.

4. Data un misura
[math]\small x \pm E_a(x)[/math]
si definiscono, rispettivamente, errore
relativo
[math]\small E_r(x) := \frac{E_a(x)}{x}[/math]
ed errore percentuale
[math]\small E_{\%}(x) := E_r(x)\cdot 100[/math]
.
Tra due misure è più precisa quella con errore relativo minore. Inoltre,
ricordando che nelle addizioni/sottrazioni a sommarsi sono gli errori
assoluti
e nelle moltiplicazioni/divisioni a sommarsi sono gli errori
relativi
, a te risolvere tale problemino (la tua interpretazione è corretta).


5. Per l'arrotondamento di tali numeri, si comincia col considerare l'errore
che va arrotondato per eccesso in modo tale da avere un'unica cifra signi-
ficativa; di conseguenza si arrotonda per eccesso pure la media in modo
tale da avere lo stesso numero di cifre dopo la virgola del relativo errore.
Delta711
Delta711 - Sapiens - 320 Punti
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Grazie intanto di avermi risposto; purtroppo non ho molto capito... Proverò a metterti giù qui i miei tentativi di risoluzione e poi vediamo.... se tu o qualcun altro avrete la possibilità di correggerli...

1)Prima di tutto ho preso il valore minimo e il valore massimo e ho diviso per 2 ottenendo 1,2727 e a questo valore ho messo +- 0,006 (errore assoluto ovvero grado di attendibilità).
Non era richiesto ma ho voluto trovare l'errore relativo e ho fatto 0,006:1,727 ottenendo 0,00347.... tradotto in percentuale= 0,34%

2) Sono entrambe di egual precisione in quanto entrambe hanno lo stesso intervallo di attendibilità e allo stello livello di cifre decimali

3) D=M/V per cui 15,15/2,18=circa 7,86 g/mm^3 dato provvisorio

Ora devo trovare i due errori relativi per poi sommarli giusto?
ErV=0,04/2,18=0.0183
ErM=0,01/17.15=0,0005

Pertanto: 0,0183+0,0050=0,0233

Indi per cui: D=7,86+-0,0233(g/cm^3)
ovvero D=7,86+-2,33%(g/cm^3)



Non so... ho provato.... Sicuramente avrò fatto errori, specie nelle cifre significative ed arrotondamenti....
Comunque aspetto con fiducia la correzione! Grazie.
Delta711
Delta711 - Sapiens - 320 Punti
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Scusa il ritardo Tem. Sì, ti confermo, tutto più chiaro.
In questi gg, forse stasera o domani avrò a che fare con altri piccoli problemucci tipo questi 3.
Se ho difficoltà li lascio giù qui nel forum, così magari troverò ancora un aiutino.
Intanto, per questi 3 problemi, grazie mille per la cortesia e la disponibilità. :hi
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