Tesina per ITIS - Indirizzo Informatica progetto "Abacus"

Istituto tecnico industriale statale

“Luigi Di Maggio”

S. Giovanni Rotondo

Corso di Informatica Sperimentale “Abacus”

A.S. 2007/2008

Cl. Vª Aser

Percorso

La Tesina verrà strutturata nel seguente modo:

• Matematica: le derivate
• Informatica: prima, seconda e terza forma normale
• Sistemi: la LAN (Local Area Network)
• Elettronica: le modulazioni
• Italiano: Giovanni Pascoli
• Storia: la Prima guerra mondiale

Matematica

Definizioni e nozioni fondamentali sulle derivate

Rapporto incrementale

Consideriamo una funzione di equazione y=f(x) definita in un intorno I del punto x₀.

Diamo a x₀ un incremento Δx=h, positivo o negativo, in modo che x₀+h ∈ I. La differenza Δy=f(x₀+h)–f(x₀) rappresenta l’incremento che subisce la funzione quando dal valore x₀ si passa al valore x₀+h; tale differenza può essere positiva, negativa o nulla.

Consideriamo il rapporto:

Δy/Δx = [f(x₀+h)–f(x₀)]/h

Tra l’incremento della funzione e l’incremento corrispondente della variabile indipendente; tale rapporto è detto rapporto incrementale della funzione f(x) relativo al punto x₀ e all’incremento h.

Significato geometrico del rapporto incrementale

Supponiamo di conoscere, in un piano cartesiano, il grafico di y=f(x) e siano P e Q i punti di tale grafico di ascisse rispettivamente x₀ e x₀+h. Il coefficiente angolare della retta secante PQ è:

m_PQ = (y_Q–y_P)/(x_Q–x_P) (1)

e si ha y_Q–y_P=Δy=f(x₀+h)–f(x₀) e x_Q–x_P=Δx=h; perciò, sostituendo nella (1), si può scrivere:

m_PQ = Δy/Δx = [f(x₀+h)–f(x₀)]/h (2)

e concludere che il rapporto incrementale della funzione y=f(x) relativo al punto x₀ e all’incremento h è uguale al coefficiente angolare della retta secante il grafico di y=f(x) nei suoi punti di ascissa x₀ e x₀+h.

Derivata

Data la funzione y=f(x), definita in un intorno completo di x₀, e costruito il suo rapporto incrementale nel punto x₀, facciamo tendere a zero l’incremento h, sia per i valori positivi che per quelli negativi; consideriamo quindi il limite del rapporto incrementale così costruito al tendere a zero dell’incremento h dato alla variabile indipendente.

Si consideri dunque:

lim_h→0 [f(x₀+h)–f(x₀)]/h

Tale limite, se esiste finito, prende il nome di derivata della funzione per x=x₀ e lo si indica con f′(x₀).

Se il limite del rapporto incrementale è infinito, si usa dire che la derivata è infinita.

Se tale limite non esiste, si dice che la derivata non esiste. Si ha così la seguente definizione.

La derivata di una funzione f(x) in un punto x₀ è il limite, se esiste, del rapporto incrementale, al tendere a zero dell’incremento dato alla variabile indipendente.

Derivare una funzione in un punto significa determinare la derivata in quel punto.

Una funzione si dice derivabile in x₀ se in tale punto essa ha derivata finita.

Pertanto, se il limite del rapporto incrementale in x₀ non esiste o è infinito, si dice che y=f(x) non è derivabile in x₀.

La derivata di una funzione y=f(x) in un generico punto x si indica indifferentemente con uno dei seguenti modi: y′, f′(x), D_xy, Dy, Df(x), dy/dx.

Per definizione si ha dunque:

f′(x₀) = lim_h→0 [f(x₀+h)–f(x₀)]/h

e in generale, per un generico punto x, in un intorno completo del quale la funzione è definita, si ha:

f′(x) = lim_h→0 [f(x+h)–f(x)]/h

Diremo poi che la funzione f(x) è derivabile nell’intervallo (a;b), se è derivabile in tutti i punti dell’intervallo (a;b). In questo caso la derivata è definita per ogni valore di x ∈ (a;b) e, pertanto, risulta anch’essa una funzione di x e sarà detta funzione derivata. Si deve quindi osservare che il simbolo f′(x) può indicare la derivata di f(x) in un particolare punto x, se si pensa x fisso, oppure la funzione derivata, se si pensa x variabile nell’intervallo (a;b).

Se consideriamo i valori di f(x) nel punto x₀ e in un suo intorno solo sinistro, o solo destro, possiamo definire rispettivamente la derivata sinistra di f(x), o la sua derivata destra.

In simboli si avrà:

f′₋(x₀) = lim_h→0− [f(x₀+h)–f(x₀)]/h, derivata sinistra

f′₊(x₀) = lim_h→0+ [f(x₀+h)–f(x₀)]/h, derivata destra

Si noti che una funzione è derivabile in x₀ se e solo se le due derivate, sinistra e destra, esistono finite e uguali fra loro.

Se la funzione f(x) è definita nell’intervallo chiuso e limitato [a;b], f′(a), se esiste, è una derivata destra e f′(b), se esiste, è una derivata sinistra.

Una funzione y=f(x) è derivabile in un intervallo chiuso e limitato [a;b], se essa è derivabile in tutti i punti interni dell’intervallo e se negli estremi a e b esistono e sono finite rispettivamente la derivata destra e la derivata sinistra.

Significato geometrico della derivata

Supponiamo che f(x) sia derivabile nel punto x₀, cioè che in x₀ esista finita la derivata.

Se facciamo tendere h a zero, ossia se attribuiamo ad h valori via via più piccoli, il punto Q si avvicinerà sempre più a P e la posizione della retta secante PQ tenderà ad avvicinarsi sempre più a quella della retta t tangente al grafico y=f(x) nel punto P.

Il coefficiente angolare della secante PQ che, come già detto, è il rapporto incrementale:

m_PQ = [f(x₀+h)–f(x₀)]/h

tenderà perciò ad avvicinarsi sempre più al coefficiente angolare m_t della tangente t, ossia si avrà:

lim_h→0 [f(x₀+h)–f(x₀)]/h = m_t

Ma il limite ora scritto è, nelle ipotesi fatte, la derivata f′(x₀): si ha perciò f′(x₀)=m_t.

Si ha così che, se f(x) è derivabile in x₀, la derivata della funzione in x₀ è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f(x) nel suo punto di ascissa x₀.

Esempio

Derivata di una funzione costante

Sia y=f(x)=c, dove c è una costante. Il rapporto incrementale relativo a un generico valore della variabile x è zero; infatti:

Δy/Δx = [f(x+h)–f(x)]/h = (c–c)/h

E perciò sarà zero anche il suo limite e si avrà:

y′ = lim_Δx→0 Δy/Δx = 0

Si ha quindi:

y=c ⇒ y′=0

cioè la derivata di una costante è zero.

Interpretazione geometrica

Poiché, per qualsiasi valore di x, la derivata della funzione f(x)=c è nulla, si deduce che il coefficiente angolare della tangente al grafico della funzione y=f(x)=c in ogni suo punto è zero.

Ciò risulta evidente osservando, in figura 12, che il coefficiente angolare della retta y=c, parallela all’asse x, è nullo e che, in questo caso, la tangente al grafico in ogni suo punto coincide con il grafico stesso.

Derivata della variabile indipendente

Sia y=f(x)=x. Il rapporto incrementale, in un qualsiasi punto x, è:

Δy/Δx = [f(x+h)–f(x)]/h = (x+h–x)/h = h/h = 1

E poiché il limite di una costante è la costante stessa si ha:

y′ = lim_Δx→0 Δy/Δx = 1

Si conclude quindi:

y=x ⇒ y′=1

cioè la derivata della variabile indipendente è uguale a 1.

Esempio del calcolo della derivata di una funzione in un punto

Sia data una funzione y=x³ e se ne voglia calcolare la derivata nel punto x=2.

Si dovrà calcolare dapprima il rapporto incrementale relativamente al punto x=2 e a un generico incremento h:

Δy/Δx = [f(2+h)–f(2)]/h

f(2)=8; f(2+h)=(2+h)³=8+12h+6h²+h³;

si ha quindi:

y′(2) = lim_h→0 [f(2+h)–f(2)]/h = lim_h→0 (12h+6h²+h³)/h

= lim_h→0 (12+6h+h²) = 12

Punti stazionari

Nel caso particolare in cui la derivata in x₀ è nulla, cioè f′(x₀)=0, la retta tangente al grafico della funzione nel punto P(x₀;f(x₀)) risulta parallela all’asse x (infatti il coefficiente angolare dell’asse x e delle rette a esso parallele è nullo). Si dà in proposito la seguente definizione.

Si dice punto stazionario per la funzione f(x) un punto x₀ in cui la derivata della funzione è nulla.

x=x₀ punto stazionario per y=f(x) ⇔ f′(x)=0

Si dice anche, se è f′(x)=0, che il punto P(x₀;f(x₀)) del grafico di f(x) è un punto a tangente orizzontale.

Punti di una curva a tangente verticale

Definizione

Se una funzione f(x) è continua in un punto x₀, non è derivabile in x₀, è derivabile sia in un intorno sinistro che in un intorno destro di x₀, si dice che il grafico di f(x) ha, nel punto P(x₀,f(x₀)), un flesso a tangente verticale.

Crescente se lim_x→x0− f′(x)=lim_x→x0+ f′(x)=+∞.

Decrescente se lim_x→x0− f′(x)=lim_x→x0+ f′(x)=−∞.

Esempio: 1/3

Consideriamo ora la funzione f(x)=x^1/3, che, essendo continua per qualsiasi valore reale di x, è continua in x=0. Dimostreremo che essa non è derivabile in x=0.

Calcoliamo il rapporto incrementale relativo al punto x=0:

Δy/Δx = [f(0+h)–f(0)]/h

= [(0+h)^1/3–(0)^1/3]/h = h^1/3/h = 1/h^2/3

Avremo quindi:

lim_Δx→0 Δy/Δx = lim_h→0 1/h^2/3 = +∞.

Poiché il limite per h→0 del rapporto incrementale è +∞, si deduce che in x=0 la funzione non è derivabile, pur essendo ivi continua.

Si può dire che il grafico della funzione ha in (0,0) un punto di flesso a tangente verticale (la tangente è l’asse y).

Cuspidi

Si dice che il grafico di f(x) ha nel punto P(x₀, f(x₀)), una cuspide rivolta verso l’alto se lim_x→x0− f′(x)=+∞ e lim_x→x0+ f′(x)=−∞.

Verso il basso se lim_x→x0− f′(x)=−∞ e lim_x→x0+ f′(x)=+∞.

Esempio: 2/3

Si può verificare che la funzione y=x^2/3 è continua in x=0 (perché è una funzione composta di funzioni continue) e che il limite sinistro del rapporto incrementale in x=0 è −∞ mentre quello destro è +∞: la funzione non è pertanto derivabile in x=0.

Si può dire che il grafico della funzione y=x^2/3 ha in (0;0) un punto di cuspide (la tangente in esso è l’asse y) (fig. 9).

Continuità delle funzioni derivabili

Se una funzione è derivabile in un intervallo I, il suo grafico è dotato, in ogni punto di I, di retta tangente non parallela all’asse y: è quindi intuitivo che la funzione risulti continua. Questa considerazione è confermata dal teorema che segue.

Se una funzione y=f(x) è derivabile in un punto x₀, cioè ammette derivata finita in x₀, allora essa è continua in x₀.

Questo teorema afferma che la derivabilità di una funzione in un punto implica la sua continuità in quel punto; tale teorema non è invertibile: infatti esistono funzioni che sono continue in un punto, ma che in esso non sono derivabili. Questo accade quando il rapporto incrementale per h→0 o non ammette limite o ha limite infinito.

Si conclude pertanto che la continuità di una funzione è condizione necessaria, ma non sufficiente, per la sua derivabilità.

Informatica

Normalizzazione del database

La normalizzazione è un procedimento volto all’eliminazione della ridondanza e del rischio di inconsistenza dal database. Esistono vari livelli di normalizzazione (forme normali) che certificano la qualità dello schema del database.

Questo processo si fonda su un semplice criterio: se una relazione presenta più concetti tra loro indipendenti, la si decompone in relazioni più piccole, una per ogni concetto. Questo tipo di processo non è purtroppo sempre applicabile in tutte le tabelle, dato che in taluni casi potrebbe comportare una perdita d’informazioni.

Ridondanza e anomalie

Ridondanze: caratteristica di ciò che è ridondante. Aggiunta di parole non necessarie alla comprensione di una frase.

Anomalie: si verificano quando ci sono irregolarità di dati.

Tipologie di forma normale

Una forma normale è una proprietà di una base di dati relazionale che ne garantisce la “qualità”.

Cosa deve garantire una decomposizione di una relazione

Una decomposizione dovrebbe sempre soddisfare due proprietà:

• La decomposizione senza perdita, che garantisce la ricostruzione delle informazioni originarie.
• La conservazione delle dipendenze, che garantisce il mantenimento dei vincoli di integrità originari.

Per “decomposizione senza perdita” si intende l’atto della manipolazione di una relazione R volta ad ottenere (eventualmente) due o più relazioni (ad esempio R1 e R2) che, oltre a conservare le dipendenze funzionali, verificano anche la seguente condizione: R=R1 join R2.

Teorema: Sia data una relazione R(X), con X insieme degli attributi di R, e due sottoinsiemi A, B di X tali che A unito B coincide con X; siano inoltre R1 e R2 due relazioni rispettivamente su A e su B. Allora è condizione sufficiente affinché la decomposizione su A e B sia senza perdita se, detto C l’insieme intersezione tra A e B, è superchiave per R1(A) o R2(B).

Prima forma normale

Definizione: Si dice che una base dati è in 1NF (prima forma normale) se vale la seguente relazione per ogni relazione contenuta nella base dati: una relazione è in 1NF se e solo se a) non presenta gruppi di attributi che si ripetono (ossia ciascun attributo è definito su un dominio con valori atomici) e b) esiste una chiave primaria (ossia esiste un insieme di attributi che identifica in modo univoco ogni tupla della relazione).

Violazioni della 1NF (atomicità dei valori)

Il seguente esempio viola la 1NF, perché pur esistendo una chiave primaria ({Matricola, Materia}), l’attributo Voto non è definito su un dominio con valori atomici: (definito in maniera non corretta).

Voti

Matricola Studente Materia Voto

0000-000-01 Pietro Basi di Dati 1 sem, B; 2 sem, F

0000-000-02 Pietro Basi di Dati 1 sem, A; 2 sem, A

0000-000-03 Sara Basi di Dati 1 sem, B; 2 sem, A

È necessario ristrutturare la relazione come segue:

Voti

Matricola Studente Materia Semestre Voto

0000-000-01 Pietro Basi di Dati 1 B

0000-000-01 Pietro Basi di Dati 2 F

0000-000-02 Pietro Basi di Dati 1 A

0000-000-02 Pietro Basi di Dati 2 A

0000-000-03 Sara Basi di Dati 1 B

0000-000-03 Sara Basi di Dati 2 A

Violazioni della 1NF (chiave primaria)

Il seguente esempio viola la 1NF, perché pur non presentando gruppi di attributi che si ripetono, manca una chiave primaria, rendendo impossibile distinguere studentesse e studenti con lo stesso nome:

Voti

Studente Materia Semestre Voto

Pietro Basi di Dati 1 A

Pietro Basi di Dati 2 A

Pietro Basi di Dati 1 A

Pietro Basi di Dati 2 A

Sara Basi di Dati 1 B

Sara Basi di Dati 2 A

È necessario ristrutturare la relazione, per esempio, come segue:

Voti

Matricola Studente Materia Semestre Voto

nnnn-nnn-nn Pietro Basi di Dati 1 A

... Pietro Basi di Dati 2 A

... Pietro Basi di Dati 1 A

... Pietro Basi di Dati 2 A

... Sara Basi di Dati 1 B

... Sara Basi di Dati 2 A

Seconda forma normale

Definizione: Una base dati è invece in 2NF (seconda forma normale) quando è in 1NF e tutti i suoi attributi non-chiave dipendono dall’intera chiave, cioè non possiedono attributi che dipendono soltanto da una parte della chiave. La seconda forma normale elimina la dipendenza parziale degli attributi dalla chiave e riguarda il caso di relazioni con chiavi composte, cioè formate da più attributi.

Come esempio supponiamo di avere una tabella con gli esami sostenuti dagli studenti universitari. I campi di interesse potrebbero quindi essere i seguenti:

• “Codice corso di laurea”
• “Codice esame”
• “Matricola studente”
• “Voto conseguito”
• “Data superamento”

La tabella avrà quindi la seguente intestazione:

id_corso_laurea id_esame id_studente voto data

La superchiave è rappresentata dalla tripla evidenziata, ossia da:

• “Codice corso di laurea”
• “Codice esame”
• “Matricola studente”

Essa infatti risulta essere l’insieme di chiavi minimale per poter identificare in modo univoco le tuple (i record) della tabella.

I campi “Voto conseguito” e “Data superamento”, invece, sono campi non chiave, e fanno riferimento all’intera superchiave.

Difatti, se dipendessero solo da:

• “Codice corso di laurea” si perderebbero le informazioni relative allo studente e all’esame superato.
• “Codice esame” si perderebbero le informazioni relative allo studente ed al corso di laurea a cui l’esame appartiene.
• “Matricola studente” si perderebbero le informazioni relative all’esame superato e al corso di laurea a cui lo studente è iscritto.