Infinito e limitatezza della natura umana

Infinito

Liceo scientifico

“N. Cortese”

Anno scolastico: 2007-2008

Alunna: Tiziana Morbillo

Classe: 5 L Infinito

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Infinito

Da sempre l’uomo ha voluto sopperire alla condizione di limitatezza che è propria dell’esistenza umana, cercando di mettersi in relazione con l’infinito. È la quadratura del cerchio dei pensieri quella di cercare di concepire e racchiudere in un’idea un concetto così magno. Come diceva Sant’Agostino, riferendosi però alla percezione che l’uomo ha di Dio, è come voler trasferire tutta l’acqua del mare in una buca con un guscio di noce. L’uomo ha però da sempre tentato di percorrere la strada verso l’infinito e soprattutto ha cercato di accorciarne le distanze con ogni mezzo e strumento, sviscerando il contenuto dal contenente attraverso la matematica, la fisica, la storia, la letteratura, la filosofia, la scienza e, infine, ma non ultima, attraverso l’arte quale immaginazione che conduce oltre. La nostra indagine partirà proprio dalla parola “infinito”, letta però in diverse chiavi di lettura, ad iniziare proprio dalla matematica.

Infinito e matematica

Accostare Infinito e Matematica può sembrare collegamento azzardato. L’Infinito, come pure il suo corrispondente temporale, l’Eterno, è tema adeguato per Religione, Filosofia o Letteratura, ma forse non per la scienza positiva. Meno che mai per la più positiva delle scienze e cioè la matematica. Del resto, l’Infinito, in-definito, in-determinato, è, per sua stessa etimologia e natura, ed anche per la comune opinione, ciò che sfugge ad ogni possibile classificazione e misura, mentre la Matematica tende a, e pretende di, classificare e misurare ogni oggetto che esamina. Eppure, a smentire tutte queste pur ragionevoli premesse, va detto che la Matematica è stata capace nella sua storia più recente di intuire, accarezzare ed anche misurare l’Infinito, fin quasi a sognare di dominarlo completamente.

Questo è il tema che vogliamo trattare.

Gli stessi numeri naturali 0, 1, 2, ... sono sì ciascuno singolarmente finito, ma costituiscono complessivamente un insieme infinito. La loro successione si snocciola senza limitazioni in una strada senza fine.

Tuttavia, come già Aristotele osservava, bisogna esercitare un po’ di finezza quando si parla di infinito e distinguere la sua forma potenziale da quella attuale.

È possibile pronunciare un numero maggiore di tutti? No, perché il numero più alto non c’è. La successione crescente dei numeri interi naturali non ha fine, è infinita, perché: determinato comunque un numero naturale è sempre possibile

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fissare un numero maggiore di esso. La definizione di “infinito potenziale”, per una successione di elementi è questa: la possibilità di procedere sempre oltre, senza che ci sia un elemento ultimo. Quindi la successione dei numeri naturali è composta da una quantità inesauribile di elementi, si può andare sempre avanti, senza fine, perché si può aggiungere sempre una unità. Si tratta di una successione infinita discreta: fatto un passo, è ben chiaro quale deve essere il successivo.

Diverso è il caso della retta. Qui la successione infinita è continua: arrivati a un certo punto, non ha senso parlare del punto ad esso immediatamente successivo, perché tra un punto e un altro che lo segue ci sono sempre infiniti punti che formano un segmento anch’esso continuo, infinitamente divisibile in parti esse stesse continue. Qui sembra ci sia qualcosa in più della possibilità di andare avanti all’infinito: passando dal punto P a un punto successivo Q si passa attraverso infiniti punti. Un infinito in atto, dunque, collezione infinita compiutamente data di tutti i suoi punti, e non solo in potenza; un’infinità compiuta, e non soltanto non completabile.

Alla fine dell’Ottocento, due matematici tedeschi, Richard Dedekind e Georg Cantor, stabiliscono l’esistenza dell’infinito in atto. Cantor riuscì addirittura a dimostrare che tale infinito non è unico; il suo ragionamento parte dall’affermazione principale da cui deriva quasi tutta la concezione aristotelica dell’infinito, “Il tutto è più grande della parte”. Cantor e Dedekind pongono alla base del loro edificio una corrispondenza biunivoca tra due insiemi, ossia, presi due insiemi A e B, si associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B, e ad ogni elemento di B uno e un solo elemento di A. Essi ritengono che due insiemi tra cui si possa stabilire una simile corrispondenza biunivoca abbiano lo stesso numero di elementi. Si pone allora la definizione fondamentale: due insiemi tra cui sussiste una corrispondenza biunivoca sono equivalenti, o meglio equipotenti.

Tra il 1870 e il 1880 gli studi di Cantor e Dedekind hanno prodotto una rivoluzione nella matematica. Rovesciando completamente la tradizionale affermazione sulla parte che non può essere uguale al tutto, essi la assumono come proprietà fondamentale che definisce lo strano comportamento dell’infinito.

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Stabiliscono: “un insieme è infinito quando è equipollente con una sua parte propria”. L’insieme N dei numeri interi è, ad esempio, infinito. Infatti è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra l’insieme N di tutti i numeri interi e l’insieme P dei numeri interi pari, che è certamente una parte propria di N. La corrispondenza è la seguente: ad ogni numero intero di N si fa corrispondere il suo doppio, che è un numero pari, dunque elemento di P. Viceversa ad ogni elemento di P, che è pari, si fa corrispondere la sua metà, che è un intero, dunque un elemento di N. Ecco l’infinito realizzato, in atto.

L’insieme dei numeri interi non è più grande di una delle sue parti. Questo infinito svelato viene detto numerabile, o discreto.

Stabilito questo pilastro centrale, l’edificio di Cantor e Dedekind ha potuto strutturarsi con sbalorditiva semplicità, demolendo qui e là certezze che resistevano da anni e anni.

Fisica e astronomia

Affine e complementare alla disciplina matematica ci sono sicuramente la fisica e l’astronomia, entrambe hanno affrontato i problemi più ardui ed affascinanti dell’estensione dell’universo, della sua evoluzione e della sua origine.

Per quanto riguarda la fisica, il primo a cercarne una soluzione moderna fu Newton che, tenendo conto della legge della gravitazione universale, da lui stesso scoperta, giunse alla conclusione che l’universo non può essere finito, altrimenti dovrebbe “cadere” tutto rapidamente verso il suo centro.

Partiremo proprio dalla Legge di Newton per poi giungere alla Legge di Coulomb e osservare le analogie e differenze tra le due.

Cominciamo ad esaminare le proprietà comuni:

• Sia la forza elettrica sia la forza gravitazionale sono forze che agiscono tra corpi posti a distanza l’uno dall’altro;
• Inoltre entrambe decrescono in proporzione inversa al quadrato della distanza;

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• Sia il campo elettrostatico che gravitazionale sono conservativi.

Come forze che agiscono a distanza, la forza gravitazionale e quella elettrica sono diverse dalle forze elastiche, dalle forze esercitate dal vento sulle vele di una barca, o da quella esercitata dai muscoli di un uomo o un animale. In tutti questi casi, vi è almeno un contatto diretto tra il corpo che esercita la forza e il corpo a cui la forza è applicata. Invece nel caso delle forze gravitazionali ed elettriche non c’è alcun contatto materiale.

Le differenze tra le due forze

Malgrado le proprietà comuni, le due forze sono profondamente diverse. Mentre la forza gravitazionale è sempre attrattiva, quella elettrica è sia attrattiva che repulsiva a seconda del segno delle cariche.

Quest’ultima caratteristica fa sì che in ambito elettrico vi siano comportamenti che non hanno un parallelo nei fenomeni gravitazionali. Un esempio di particolare rilevanza è la forza elettrica che si misura tra due cariche puntiformi q e Q poste in un mezzo materiale isolante. Tale mezzo è composto da cariche positive e da cariche negative, in eguali quantità, che interagiscono con le cariche q e Q. L’esperimento non può misurare altro che la forza totale che agisce sulle due cariche. Così la forza misurata risulta minore, per un fattore Er, della forza che si misurerebbe nel vuoto tra le stesse cariche poste alla stessa distanza. L’interazione gravitazionale, per la quale non esistono masse negative e masse positive, non può dare origine ad alcun fenomeno di questo tipo.

Le due forze hanno anche origini completamente diverse. La forza gravitazionale si esercita tra qualsiasi coppia di corpi, come conseguenza del fatto che essi hanno una massa, mentre la forza coulombiana agisce soltanto fra corpi di carica elettrica e scompare se essi vengono privati di questa carica.

Infine, le due forze hanno valori dell’intensità molto diversi. Per avere un termine di riferimento si possono confrontare la forza elettrica e la forza gravitazionale con cui si attraggono il protone e l’elettrone di un atomo di idrogeno. La forza elettrica, in tale esempio, è 1039 volte più grande di quella gravitazionale.

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La scienza e l’universo

La Scienza da sempre si è avventurata nelle proprie ricerche per la conoscenza del nostro mondo: lo scienziato ha iniziato a muovere i suoi primi passi al di là dei confini della Terra, verso gli altri corpi del Sistema Solare.

Da tempi immemorabili l’uomo osservava il cielo notturno e oltre alla Luna aveva scoperto numerosi compagni di viaggio della Terra: pianeti, satelliti e corpi minori e, con cannocchiali e telescopi, tentato di conoscerne forme e natura.

Quando, in una giornata serena, la luce del Sole permea ogni cosa, l’orizzonte che ci circonda appare chiuso in ogni direzione dalla volta azzurra, impenetrabile, del cielo: oltre al disco del Sole e, a volte, all’immagine sbiadita della Luna, sembra che non esista niente altro al di fuori del nostro pianeta. Ma se torniamo a guardare il cielo quando il Sole è tramontato, allora l’orizzonte si dilata all’infinito: quasi tutti gli innumerevoli punti luminosi disseminati nella volta celeste si trovano a distanze enormi e costituiscono una realtà estesa ben oltre lo spazio “vicino”, entro cui la Terra e altri otto pianeti ruotano, da miliardi di anni, intorno alla stella Sole. Lo sviluppo di tecniche di ricerca astronomiche ha aumentato le nostre capacità di osservazione e quei punti luminosi si sono rivelati corpi diversi tra loro per dimensioni, natura e origine; cerchiamo di farci un’idea di questa realtà cominciando dai corpi più diffusi nell’Universo, quei punti luminosi chiamati “stelle”, la cui storia è frutto di una continua evoluzione nel tempo e nello spazio.

Le stelle che si vedono a occhio nudo appaiono come punti che mostrano luminosità diversa, ma l’uso di strumenti adeguati e sempre più raffinati ci ha permesso di riconoscere anche altre caratteristiche che diversificano le stelle, e sono le dimensioni, la massa, temperatura, composizione chimica e così via.

Dedichiamo perciò un po’ di attenzione a tali caratteristiche che hanno fornito la chiave per comprendere cosa siano le stelle e quale ruolo svolgano nella struttura dell’Universo;

Esamineremo:

• La magnitudine, apparente e assoluta;
• Le stelle doppie e i sistemi multipli di stelle;