Infinito vs. finito

La contrapposizione fra il finito e l’infinito

Da tempo immemorabile la contrapposizione fra il finito e l’infinito ha suscitato le passioni umane più di ogni altra questione, ed è difficile trovare un qualcosa che abbia stimolato la mente dell’uomo in modo altrettanto fruttuoso. Fra tutte le invenzioni dell’intelletto la suddetta contrapposizione è forse la più affascinante; dalla matematica, alla filosofia, alla poesia e all’astronomia, l’uomo per secoli ha cercato di sentirli anzi di conquistarli. È di straordinario interesse percorrere questo cammino irto di difficoltà concettuali dinnanzi alle quali sono bloccati alcuni fra gli intelletti più acuti di tutta l’umanità, come ad esempio Hegel. La creatività artistica e la razionalità matematica si fondono nel fascino di questa invenzione dell’intelletto umano che proprio da quest’ultima disciplina ha ricevuto la caratterizzazione più precisa.

Matematica

La matematica si è sviluppata nel tempo a partire dai numeri naturali e dai loro rapporti. La successione crescente dei numeri naturali non ha fine, è infinita perché, fissato comunque un numero naturale, è sempre possibile trovare un numero maggiore di esso. È un’infinità inesauribile che si ottiene aggiungendo sempre ‘uno’ all’ultimo numero determinato; tale tipo di infinito potenziale viene chiamato infinito per aggiunzione.

La definizione di infinito potenziale per una successione di elementi è appunto questa: la possibilità di procedere sempre oltre senza che ci sia un elemento ultimo. Si osservi che un infinito pensato come un processo per successive aggiunzioni è ciò che si pone sempre all’esterno di quello che è già stato unificato dall’intuizione.

Se immaginiamo di rappresentare graficamente la successione dei numeri naturali, dovremmo raffigurare una serie di punti separati ed equidistanti che si susseguono senza fine, perché sarà sempre possibile aggiungerne ancora uno. Il concetto di infinito è stato elaborato dalla filosofia greca con valenze prevalentemente negative, come si può notare anche dalla parola che lo definisce nelle varie lingue: a-peion in greco, in-finitum in latino, ed è stato dalla stessa accettato solo come divenire, quindi come infinito potenziale, rifiutando pertanto l’idea di un infinito attuale.

Il rifiuto dell’infinito attuale nasce dal fatto che i greci ritenevano conoscibile solo ciò che è determinato, finito; tutto ciò che è indeterminato, infinito e perciò inconoscibile è quindi da rifiutare, al punto che non solo viene respinta l’idea dell’infinito attuale, ma si accetta l’infinito potenziale solo come processo di ecceterazione, cioè come possibilità di procedere sempre oltre, un passo alla volta, ottenendo ad ogni passo quantità sempre più grandi, ma comunque finite.

Anche i matematici greci di quel tempo, Euclide, Pitagora, Archimede, rifiutarono ovviamente l’infinito attuale, ritenendo lecita solo la concezione dell’infinito come divenire. Su diversi fronti della matematica, tuttavia, questa concezione dell’infinito entrò in crisi, suscitando dei problemi spesso insormontabili per i matematici del tempo e creando i presupposti per il superamento della stessa, superamento che inizierà a partire dai primi decenni del Seicento ad opera di Galileo Galilei. I primi veri e propri strumenti algoritmici per il calcolo con gli infiniti e con gli infinitesimi comparvero nel Cinquecento.

Solo nell’Ottocento, grazie all’opera di Cauchy e di Weierstrass, si assistette ad una revisione critica dei fondamenti dell’analisi infinitesimale, la quale venne sistematizzata, raggiungendo un perfetto rigore logico, mediante l’introduzione del concetto di limite. Possiamo distinguere all’interno dell’analisi matematica più di un concetto di limite, partendo dalla definizione di limite ovvero:

Si dice che L è il limite della funzione y = f(x) per x tendente ad un punto x₀ del campo di esistenza X e si scrive:

lim f(x) = ℓ

x − x₀

se scelto un ε piccolo a piacere quanto si voglia si può determinare in X un intorno di x₀ tale che per ogni x di tale intorno si abbia:

| f(x) − l | ‹ ε

Da qui ricaviamo le restanti definizioni di limite:

Limite infinito per una funzione che tende al finito

Si dice che una funzione y = f(x) ha per limite l’infinito per x tendente a x₀:

Lim f(x) = ∞

x − x₀

quando scelto un numero arbitrario N › 0 è possibile determinare nel campo di esistenza un intorno di x₀ tale che per tutti i valori di x di tale intorno, escluso al più x₀, si abbia:

| f(x) | N

Limite finito per una funzione che tende all’infinito

Si dice che una funzione y = f(x) ha per limite ℓ per x tendente all’infinito:

Lim f(x) = ℓ

x − ∞

Se fissato un numero arbitrario ε › 0, in corrispondenza di questo si può determinare un numero M 0 tale che per ogni x soddisfacente la relazione |x| › M si abbia:

|f(x) − l| ‹ ε

Limite infinito per una funzione che tende all’infinito

Si dice che la funzione y = f(x) ha per limite l’infinito per x che tende all’infinito:

lim f(x) = ∞

x − ∞

se fissato un numero arbitrario N › 0 è possibile, in corrispondenza di questo, determinare un numero M › 0 tale che per ogni x soddisfacente la relazione |x| › M si abbia:

| f(x) | › N

Ma il concetto di finito ed infinito, come già ribadito nell’introduzione, non è stato esaminato solo sotto l’aspetto matematico, ma anche in ambito astronomico. Infatti:

Scienze

Nel secolo scorso, la scoperta dell’espansione dell’Universo fu una vera rivoluzione, perché in contrasto con l’idea di universo statico, immutabile e quindi finito, dominante fino ai primi anni del XX secolo. Il movimento di allontanamento delle altre galassie dalla nostra è detto moto di recessione e la relazione tra velocità di allontanamento e distanza della galassia dalla Terra è espressa dalla legge di Hubble:

v = H d

dove:

• V = la velocità di allontanamento espressa in km/s
• H = la costante di Hubble
• D = la distanza dalla Terra espressa in Mpc (40 e 80 km/s/Mpc)

La scoperta di Hubble ha un’implicazione importantissima: le dimensioni del nostro universo stanno aumentando.