Simmetria, tesina

La simmetria

"Come fai ad essere così bello?"

"Vedi, io sono un fiore e sono una creazione della natura, e in quanto tale sono perfettamente simmetrico..."

"Non capisco" rispose il piccolo principe spiazzato dall'uscita del fiore.

"Ora ti spiego" disse superbamente il fiore.

"In natura esistono tantissime simmetrie"

"E a cosa servono?"

"Beh, a fare i fiori belli, non c'è dubbio. Una simmetria della natura è qualcosa che il sole ci ha dato e che nessuno potrà mai imitare. Tutto, in natura, nasce da una simmetria."

Antoine de Saint-Exupéry, Il Piccolo Principe

Sommario

• 1. Introduzione 4
• 2. La simmetria come trasformazione geometrica e come gruppo 5
• 3. Rottura di simmetria e bosone di Higgs 8
• 4. La serie “L” degli amminoacidi: chiralità e la violazione della parità 13
• 5. La simmetria nell’arte 16
• 6. Symmetry in English literature 19
• 7. Il principio di simmetria nell’inconscio 22
• Bibliografia 25
• Sitografia 25

1. Introduzione

La parola “simmetria” deriva dal greco “συμμετρία”, un termine composto da σύν (“con”) e μέτρον (“misura”) e che dunque significa, almeno inizialmente, “commisurazione”, secondo il significato attribuito da Euclide negli Elementi. Tradotto in latino, con Vitruvio il termine prende il significato che gli sarà proprio fino alla fine del Rinascimento, cioè quello di accordo armonico tra le parti di una medesima figura e di rispondenza tra le singole parti e l’intera figura (vedi Uomo vitruviano).

Figura 1: la raffigurazione vitruviana, cioè un uomo che giace supino, con le braccia e gambe divaricate in modo tale da risultare inscritto allo stesso tempo in un cerchio e in un quadrato, entrambi centrati nell'ombelico (“il centro naturale del corpo umano”)

Fino agli albori dell’età moderna, quindi, il concetto di simmetria è indissolubilmente legato a quello di armonia, bellezza e unità, e non implica necessariamente la disposizione di parti uguali.

Quest’ultimo concetto, infatti, è proprio della nozione moderna di simmetria (la distinzione tra le due fasi è stata introdotta da Claude Perrault nel XVII secolo), che si basa su un rapporto di uguaglianza tra parti contrapposte, cioè parti che si corrispondono specularmente rispetto ad un asse (o a un piano). La specularità è quindi una sorta di dialettica tra una componente di uguaglianza (intrinsecamente, ciò che due oggetti simmetrici sono anche uguali) e una componente di disuguaglianza (dettata dall’elemento rispetto a cui sono contrapposte le parti).

La simmetria non è quindi un puro accostamento di parti uguali nello spazio, ma un ordinamento antitetico di parti uguali rispetto a un diverso elemento intermedio. Citando Hegel, “All'uguaglianza si associa una disuguaglianza, e la vuota identità è interrotta dall'irruzione della differenza. Compare così la simmetria”.

Il senso moderno della simmetria, quindi, non implica una semplice ripetizione, ma una ripetizione regolata da una data operazione, cioè da una legge. Il significato estetico della simmetria è dunque sostituito da quello matematico, necessario per definire il modo in cui le parti uguali sono disposte l’una rispetto all’altra: si definisce simmetrica una figura che non cambia quando le parti uguali che la compongono sono trasformate le une nelle altre.

2. La simmetria come trasformazione geometrica e come gruppo

In geometria analitica, le operazioni che consentono di ricavare da un punto o una funzione il suo simmetrico/a sono la riflessione, la rotazione e la traslazione, isometrie governate da alcune leggi di trasformazione ben conosciute.

Riflessione (“simmetria classica”) "

= −

Rispetto ad asse y: "

=

"

=

Rispetto ad asse x: "

= −

"

= − + 2ℎ

Rispetto alla retta x=h: "

=

"

=

Rispetto alla retta y=k: "

= − + 2

"

=

Rispetto alla bisettrice 1°-3° quadrante: "

=

"

= −

Rispetto alla bisettrice 2°-4° quadrante: "

= −

"

= −

Rispetto all’origine: "

= −

"

= − + 2

Rispetto a un punto C(a;b): "

= + 2

Traslazione "

= +

Traslazione di vettore (; ): "

= +

Rotazione "

= cos + sin

Rotazione di centro O e ampiezza : "

= sin + cos

Le funzioni pari, cioè quelle per cui vale , sono per definizione simmetriche rispetto all’asse delle ordinate o ad una sua parallela per opportuna traslazione, mentre quelle dispari, per cui vale , sono simmetriche rispetto all’origine del sistema di riferimento.

= −

7 E

Figura 2: funzione = , Figura 3: Funzione , simmetrica rispetto all'origine

=

8 E

Figura 4: Simmetria rispetto all’origine tra la funzione e la sua funzione inversa

=

Il tipo di simmetria che caratterizza una figura, quindi, dipende dal tipo di trasformazione che la lascia invariata (simmetria di riflessione, di rotazione e traslazione, che derivano dalle invarianze per queste trasformazioni).

La figura umana, ad esempio, rimane invariata se scambiamo la parte destra con quella sinistra mediante un’operazione di riflessione rispetto ad un piano mediano verticale: possiede quindi una simmetria tra destra e sinistra, o simmetria bilaterale.

Con l’introduzione di un primo formalismo matematico della simmetria, quindi, i concetti di uguaglianza e disuguaglianza, troppo generici per appartenere ad una scienza esatta come la matematica, vengono sostituiti dalle nozioni di invarianza e trasformazione. Ciò ci porta anche a una nuova definizione di simmetria: “una figura è definita simmetrica quando è composta di parti uguali (se considerate per sé stesse), disposte in modo tale che, sotto l’azione di determinate operazioni, si scambino le relative posizioni mentre la figura, nel suo insieme, resta invariata”. È questa la cosiddetta “nozione cristallografica di simmetria”, che avrà molto successo nello studio e nella classificazione dei minerali.

Un’importantissima novità nello studio della simmetria fu introdotta nel XIX secolo dal matematico francese Evariste Galois (1811-1832), che introdusse il concetto di “gruppo” e lo sviluppò nella sua teoria dei gruppi di trasformazioni. Tale concetto fa parte della matematica delle strutture algebriche e non implica più l’utilizzo dei numeri, come nel caso delle trasformazioni geometriche, ma quello degli insiemi e delle operazioni che legano gli elementi di tali insiemi. Le strutture algebriche, in particolare, vengono classificate a seconda delle proprietà caratteristiche di tali operazioni, come la commutatività, l’associatività o la distributività.

In particolare, si definisce “gruppo” un insieme G munito di un’operazione binaria interna, che ad ogni coppia di elementi distinti a, b dell’insieme associa un elemento a sua volta appartenente a G (proprietà di chiusura), rispettando i seguenti assiomi:

• Proprietà associativa: dati appartenenti a G, vale

, , , ∗ ∗ = ∗ (∗ )

• Esistenza dell’elemento neutro: esiste in G un elemento neutro “” rispetto all’operazione “∗”, cioè tale che: relazione valida

∗ = ∗ = , ∀ ∈

• Esistenza dell’inverso: ad ogni elemento a di G è associato un elemento suo inverso, tale che

′,

" "

∗ = ∗ =

Un gruppo si chiama commutativo, o abeliano, se vale anche la proprietà commutativa: ∗ = ∗

.

Le trasformazioni geometriche viste in precedenza soddisfano le condizioni appena viste: possiamo trattare le simmetrie come un gruppo di trasformazioni, e in questo senso ha un ruolo rilevante il fatto che la combinazione di due trasformazioni simmetriche rispetti la proprietà di chiusura: applicando due simmetrie ad una figura, il risultato sarà ancora una figura simmetrica a quella iniziale. Giungiamo quindi alla definizione gruppale di simmetria, cioè quella di invarianza rispetto ad un gruppo di trasformazioni; una definizione che ha avuto enorme successo, in quanto rende possibile l’estensione delle considerazioni anche ad un campo più astratto (come quello delle equazioni, per esempio), e non solo strettamente figurativo.

3. Rottura di simmetria e bosone di Higgs

Essendo matematica e fisica strettamente interconnesse, la simmetria riveste un ruolo fondamentale nella descrizione di molti fenomeni naturali. Già Galileo, infatti, formulando le sue famose “trasformazioni”, aveva postulato l’invarianza delle leggi del moto per sistemi di riferimento fermi o in moto rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro. Tali trasformazioni furono riprese da Lorentz con l’aggiunta del fattore “tempo” e successivamente utilizzate da Einstein nella formulazione della teoria della relatività ristretta, che può essere considerata la prima grande teoria caratterizzata dalla simmetria. Inoltre, l’esistenza di simmetrie in natura semplifica la soluzione delle equazioni che ne descrivono le leggi: se ci troviamo in presenza di forze simmetriche per rotazioni, è sufficiente risolvere il problema per una direzione arbitraria e generalizzare il risultato alle altre direzioni.

Un altro importante legame tra simmetria e fisica è dato dal Teorema di Noether, elaborato da Emmy Noether, che stabilisce il legame esistente tra simmetrie di un sistema fisico e quantità conservate. Più nel dettaglio, tale teorema stabilisce che ad ogni simmetria della lagrangiana (funzione rappresentata dalla differenza tra energia cinetica e energia potenziale di un sistema fisico, che ne caratterizza la dinamica), ovvero ad ogni trasformazione continua delle coordinate generalizzate che lascia inalterata la lagrangiana corrisponde una quantità

(, , ) (, , ),

conservata (in meccanica classica abbiamo quindi le tre leggi di conservazione principali, cioè la conservazione della quantità di moto, del momento angolare e dell’energia meccanica).

Nella fisica moderna, e in particolare nella fisica del Modello Standard, è stato invece il concetto di gruppo di simmetrie di gauge a fare da traino per le nuove scoperte. Il Modello standard è infatti una teoria di gauge caratterizzata da una simmetria di gauge. Ma cosa si intende per “simmetria di gauge”?

Una simmetria di gauge è una trasformazione che lascia invariata la lagrangiana del sistema a livello locale, a patto che tale trasformazione agisca in modo differente e indipendente tra i diversi punti dello spazio. In particolare, nei modelli quantistici le trasformazioni di gauge agiscono modificando la fase di una particella/onda quantistica. Per comprendere meglio il concetto, lo contestualizziamo: immaginiamo di disporre di un certo numero di vasi (le particelle quantistiche dello spazio, e più precisamente la loro funzione d’onda, ovvero ampiezza di probabilità) e di poterli ruotare a nostro piacimento (siamo noi che applichiamo la trasformazione). Se agiamo in maniera uguale su tutti i vasi, ruotandoli di uno stesso angolo (la fase della particella), il sistema subirà una trasformazione globale, e non avremo una simmetria di gauge, ma una globale. Se invece non agiamo a livello globale, ma individualmente su ogni vaso e con una trasformazione diversa passando da un vaso all’altro, otteniamo una trasformazione di gauge, che non modifica nessuna proprietà fisica osservabile, ma in un certo senso “calibra” la funzione d’onda (si noti che per trasformazione si intende la modificazione dello stato interno del sistema).

Il problema principale delle trasformazioni di gauge è quindi l’alterazione dello stato iniziale del sistema in maniera quasi “casuale” all’occhio umano. Con un esempio preso da Paolo Strolin, autore di “Simmetrie e interazioni fondamentali” sul sito “Scienza e scuola”, è come se un mago deformasse con una trasformazione di gauge una membrana, come in Figura 5.

È quasi impossibile capire quale fosse lo stato iniziale del sistema, dato che le trasformazioni di gauge agiscono in modo indipendente sui diversi punti della membrana. Bisogna procedere a ritroso, partire dai dati sperimentali e formulare una teoria che spieghi com’era la situazione prima dell’alterazione dovuta alla trasformazione di gauge.

Figura 5: Deformazione di una membrana, analogia alle teoria di gauge abbia portato numerosissimi vantaggi, molte domande rimasero senza risposta e in alcuni casi, addirittura, sorsero nuovi interrogativi. Ne è un esempio l’unificazione dell’elettromagnetismo e della forza nucleare debole, avvenuta all’interno di una teoria di gauge. Subito dopo questo grande successo (la prima unificazione di due forze nella storia della fisica!), però, si palesarono alcune lacune. + - 0

Innanzitutto, vennero osservati non uno ma ben 3 bosoni (W⁺, W^- e Z⁰) mediatori della forza debole. Ma la caratteristica forse più sconcertante di tali bosoni era la loro massa (W: 80,4 GeV e Z: 91,2 GeV) circa 100 volte più elevata del protone. C’era qualcosa che rendeva i “deboloni” particelle massive, caratteristica che violava la simmetria di gauge e che riguardava solo loro, ma non i fotoni, che non hanno massa. Rimaneva inspiegato anche il problema delle generazioni delle particelle: perché muone e tau, le “copie” dell’elettrone, differiscono per massa? Perché il quark top pesa molto di più degli altri quark?

La domanda divenne quindi: da dove nasce la massa? Esiste una risposta a questa domanda, e deriva dal concetto di “rottura spontanea di simmetria” espresso nel famoso meccanismo di Higgs.

Cominciamo con un esempio: una trottola in rotazione attorno al suo asse, cioè un sistema fisico che possiede simmetria per rotazione attorno all’asse; l’attrito con la superficie su cui ruota, però, fa diminuire la sua energia cinetica, fino a quando la trottola non si ferma e cade; non si può prevedere la direzione di caduta, ma appena la trottola si fermerà ve ne sarà una privilegiata; di conseguenza, si perde l’invarianza per rotazioni e il sistema, pur essendo “decaduto” in uno stato ad energia inferiore, ha perso parte della sua simmetria iniziale. È avvenuta una rottura spontanea di simmetria.

Nel Modello Standard, invece, quando si realizza una trasformazione di gauge, può accadere che lo stato di minima energia in cui il sistema si trova (il cosiddetto “stato di vuoto”, perché al vuoto corrisponde la configurazione con minore energia) non venga lasciato invariato da tali trasformazioni, come invece accade per la lagrangiana del sistema fisico. Viene rotta quindi la simmetria del sistema, come avviene nel Meccanismo di Higgs.

Lo stato di vuoto, nel Modello Standard, si determina minimizzando il potenziale del campo di Higgs

H: O O R

= + O

dove il parametro ha le dimensioni di una massa, mentre è un numero. Se è positivo, il potenziale è un paraboloide il cui minimo è nell’origine, e pertanto lo stato di vuoto possiede la stessa simmetria della lagrangiana. Il valore di H che rende minimo tale potenziale è dove

= 0,

il bracket sta a significare il valore assunto da H nello stato di vuoto nel sistema (Vacuum Expectation Value). Figura 6: Potenziale a forma di paraboloide

O

Ma se è negativo, il potenziale assume la forma di un “cappello messicano”, in cui vi è un massimo (la punta del cappello) e una “valle dei minimi” (che corrisponde alla parte del cappello più vicina alla testa). Figura 7: Potenziale a forma di cappello messicano

Nei primi istanti successivi al big bang, durante il raffreddamento (temperatura di circa 100 GeV), è

O

avvenuta una transizione di fase che ha fatto cambiare il segno di da positivo a negativo, e quindi ha modificato il campo di Higgs, inizialmente perfettamente simmetrico, così come le 4 forze fondamentali, in uno stato di equilibrio instabile. Con il meccanismo di rottura spontanea di simmetria, il bosone di Higgs ha cominciato a fornire la massa alle particelle in maniera non simmetrica (si noti che subito dopo il Big Bang le particelle non possiedono una massa fino alla rottura della simmetria), mediante un meccanismo di accoppiamento: alcune componenti del bosone di Higgs, per esempio, vengono “ingoiate” dai bosoni mediatori della forza debole, e ciò fornisce loro la massa.

È interessante notare come il decadimento del potenziale di Higgs nella configurazione con minima energia non corrisponde esattamente al “vuoto” come lo intendiamo noi, ma ad un vuoto completamente permeato da bosoni di Higgs; questi ultimi, anche se con un’analogia poco