Proporzione divina - Tesina per Istituto tecnico

Carbone Antonio V B ELA

La proporzione divina

[...] All'improvviso gli parve di essere ritornato ad Harvard, davanti ai suoi studenti del corso il simbolismo nell'arte e di scrivere alla lavagna il suo numero preferito.

1,618

Langdon si era voltato verso la sua aula piena di studenti ansiosi. Chi mi sa dire che numero è? Un diplomato in matematica, nelle ultime file, aveva alzato la mano. Il numero phi. Lo pronunciava fi. [...]

Nonostante la bizzarra origine matematica del phi, aveva spiegato Langdon, il suo più sorprendente aspetto era il suo ruolo di mattone fondamentale della natura. Piante, animali e persino uomini avevano misure che rispettavano esattamente il rapporto tra phi e uno.

L'onnipresenza del phi in natura, aveva detto Langdon mentre spegneva la luce, va chiaramente al di là delle coincidenze e perciò gli antichi pensavano che fosse stato stabilito dal Creatore dell'universo. I primi scienziati la chiamarono proporzione divina.

Dan Brown, Il codice Da Vinci

Il numero aureo

Ogni volta che l'uomo si confronta con l'infinito, prova soltanto un forte disagio, dato dall'incapacità di comprenderlo. Ed esistono infiniti numeri che separano 1 da 2, e anche 1,6 da 1,7. Tra questi numeri, in una posizione indeterminata, si trova (phi), la sezione aurea (o proporzione aurea, o numero aureo).

Il numero è un numero irrazionale, cioè non può essere scritto sotto forma di frazione di due numeri interi, ma è da intendere come un segmento diviso in due parti disuguali dove la lunghezza della linea totale (x) sta a quella della parte maggiore (1) come quella della parte maggiore sta a quella minore (x-1).

Possiamo dire che:

x/1 = 1/(x-1)

E quindi:

x·(x-1)=1

x²-x-1=0

Che ha due soluzioni:

x₁ = (1+5)/2

x₂ = (1-5)/2

Di cui quella positiva:

= (1+5)/2 = 1,6180339887

Partendo dall'uguaglianza ²--1=0, ²=+1, e infatti ²=1,618033²=2,61803=1,618033+1

Possiamo moltiplicare poi entrambi i membri diverse volte per ottenendo

³=²+    ⁴=³+^2    5=⁴+³    ...

Un'altra particolarità di questo misterioso numero è: 1/= -1.

La successione di Fibonacci

Il numero aureo è inoltre imparentato con alcune frazioni nate da una successione puramente aritmetica, la successione di Leonardo Pisano, matematico italiano del XIII secolo.

Questo matematico del Medioevo scrisse opere di geometria, algebra e teoria dei numeri, tra cui il Liber abaci (Libro dell'abaco), pubblicato nel 1202 per cercare di dimostrare i vantaggi delle cifre arabe per il calcolo anziché i numeri romani utilizzati all'epoca, anche se la numerazione decimale non si diffuse molto rapidamente. Uno dei problemi più famosi proposti nel Libro dell'Abaco è così enunciato: Quante coppie di conigli avremo a fine anno se cominciamo con una coppia che genera ogni mese un'altra coppia che a sua volta procrea dopo due mesi di vita?; e la soluzione a questo problema è la successione oggi nota con il nome di Fibonacci.

Per realizzarla Fibonacci realizzò la seguente tabella:

Numero di coppie all'inizio del mese Numero di nuove coppie alla fine del mese Numero totale di coppie alla fine del mese

1. 1   1   2
2. 2   1   3
3. 3   2   5
4. 5   3   8
5. 8   5   13
6. 13   8   21
7. 21   13   34
8. 34   21   55
9. 55   34   89
10. 89   55   144
11. 144   89   233
12. 233   144   377

Si può notare nella successione dell'ultima colonna una singolare ripetizione: ogni termine si ottiene come somma dei due che lo precedono. Ovviamente è possibile continuare questa successione all'infinito.

Possiamo però notare che il quoziente di un termine qualsiasi della successione e il suo precedente si approssima sempre di più a:

3/2=1,5

5/3=1,666...

8/5=1,6

13/8=1,625

21/13=1,6153...

34/21=1,61904

55/34=1,61764

89/55=1,61818

Quando si arriva al quarantesimo numero della successione, il quoziente si approssima al numero aureo con una precisione di 14 decimali.

La geometria e la proporzione aurea

Cerchiamo adesso di avvicinarci al numero aureo tramite la geometria: disegniamo un rettangolo il cui lato più lungo valga il prodotto di quello più corto moltiplicato per , ottenendo quindi un rettangolo aureo.

l=1

L=

In realtà esistono molti oggetti di uso quotidiano che rispettano questa proporzione, ad esempio una qualsiasi carta di credito.

Tracciando la diagonale della carta orizzontale e prolungandola, ci accorgiamo che il suo prolungamento coincide con il vertice destro della carta verticale. Questa è una proprietà che si riscontra esclusivamente in due rettangoli aurei della stessa dimensione.

È una casualità che molti oggetti siano stati disegnati avendo in mente questa proporzione? Probabilmente le varie forme geometriche che godono della proporzione aurea sono, per ragioni ambigue, ampiamente gradevoli alla vista.

Nel 1876 il tedesco Gustav Theodor Fechner eseguì uno studio statistico su persone senza nessun tipo di preparazione artistica, chiedendo loro di scegliere fra vari rettangoli quello che loro preferivano visivamente. La maggioranza scelse il rettangolo aureo e Fechner concluse che "perché un oggetto sia considerato bello dal punto di vista della sua forma, deve avere fra il lato maggiore e quello minore lo stesso rapporto che passa tra il maggiore e il tutto", che è fedelmente la stessa definizione del rapporto aureo.

La proporzione aurea nell'arte

Ma l'influenza della sezione aurea si può trovare già molto prima, nella Grecia classica e nel Rinascimento.

Luca Pacioli, vissuto in Italia nel XV secolo, insieme a Leonardo Da Vinci fu il maggior responsabile dell'ingresso della proporzione aurea nell'arte con il libro De divina proportione, che stabilisce le proporzioni da seguire per raggiungere la perfezione in ambito di bellezza estetica. Leonardo espose invece le proprie convinzioni riguardo alle connessioni tra l'arte e la matematica con il suo Trattato sulla pittura, che comincia appunto con la frase "Nessuno che non sia un matematico legga le mie opere".

Guardate un'altra diapositiva: una pergamena ingiallita in cui si scorgeva il famoso nudo maschile di Leonardo Da Vinci, l'uomo vitruviano, così chiamato dal nome di Marco Vitruvio, il grande architetto romano che aveva tessuto le lodi della proporzione divina nel suo libro De Architectura.

Questo ci fa capire meglio di Leonardo da Vinci la divina struttura del corpo umano. Leonardo disegnava i corpi per misurare le proporzioni esatte della struttura ossea umana. Fu il primo a mostrare che il corpo umano è letteralmente costituito di elementi che stanno tra di loro in rapporto di phi. [...]

Misurate la vostra altezza poi dividetela per la distanza da terra del vostro ombelico. Indovinate che numero si ottiene.

L'uomo ideale o vitruviano pone l'uomo al centro dell'universo seguendo l'ideale rinascimentale, essendo inscritto tanto in un cerchio quanto in un quadrato. Le proporzioni "ideali" del corpo umano corrispondono al rapporto aureo tra il lato del quadrato e il raggio del cerchio.

Anche il volto della Monna Lisa (Gioconda) è pianificato entro la successione di vari rettangoli aurei.

Si possono trovare proporzioni auree ancora nell'Ultima cena e nella Nascita di Venere di Botticelli, e persino negli artisti di Kazimir Malevich.

La proporzione aurea in natura

"Un momento," aveva detto una giovane donna seduta in prima fila. "Io sono diplomata in biologia e non ho mai visto questa divina proporzione in natura."

"Perché?" Langdon aveva sorriso. "Non ha mai studiato il rapporto tra femmine e maschi in un alveare?"

"Certo, le femmine sono sempre in numero superiore ai maschi."

"Esatto. E se in qualsiasi alveare si prende il numero delle femmine e lo si divide per quello dei maschi si ottiene sempre lo stesso rapporto." "Davvero?" - "Sì, il numero del phi."

La ragazza era rimasta a bocca aperta. "Non è possibile!" - "Certo che lo è!" aveva ribattuto Langdon, sorridendo, e aveva proiettato la diapositiva di una conchiglia. "Riconosce questa?" - "È un nautilus", aveva detto la diplomata in biologia. "Un mollusco che pompa gas nelle camere della sua conchiglia per regolare la spinta di galleggiamento." - "Esatto. E mi sa dire il rapporto tra diametro di una spira e quello della successiva?"

La ragazza aveva guardato con aria incerta le curve concentriche della spirale del nautilus. Langdon aveva annuito. "Phi, la proporzione divina, uno virgola seicentodiciotto a uno."

Le foglie di qualsiasi pianta non crescono una sopra all'altra per evitare di togliersi a vicenda la luce necessaria e l'ossigeno. La fillotassi è una parola di origine greca (phyllon, "foglia", e taxis, "ordine") che indica lo studio del modo in cui le foglie si dispongono lungo il fusto. Leonardo Da Vinci si accorse che la cosa più singolare è il fatto che la disposizione delle foglie sia sempre sulla base di un modello a spirale distribuita a gruppi di cinque foglie attorno ad un fusto.

Keplero osservò invece che la forma dei fiori aveva molti collegamenti con la figura del pentagono; notò la stessa figura geometrica nella distribuzione dei semi nei frutti.

Possiamo notare che tracciando delle spirali in senso orario (8) e in senso antiorario (13) su una pigna, questi saranno sempre termini contigui della successione di Fibonacci.

Furono questi studi a portare alla delineazione della regola generale della fillotassi, avvicinando la sezione aurea alla botanica, e più avanti, alla natura in generale: ad esempio la struttura interna del nautilus si sviluppa aggiungendo settori di dimensione sempre maggiore rispettando il rapporto aureo, persino nei movimenti di turbolenza che possiamo osservare nei mulinelli che si formano a pelo d'acqua, nella disposizione delle galassie e nelle forme del nostro corpo possiamo trovare il medesimo rapporto della spirale aurea.

Una spirale logaritmica costruita sulla base di rettangoli aurei crescenti in proporzione di.

La proporzione aurea nell'architettura

È possibile trovare la medesima proporzione nell'architettura degli antichi Egizi fino a quella contemporanea, anche se è difficile accertare che nell'antica architettura Egiziana si tratti di una scelta voluta.

L'altezza e la base della piramide di Cheope, ad esempio, hanno tra di loro una stretta somiglianza con il numero . La stessa proporzione si può trovare negli archi di trionfo della Roma classica, nelle tombe della Licia e nelle chiese di Mira.

La misura considerata la più rappresentativa dell'uso della sezione aurea nell'antichità è il Partenone, anche se oggi questa idea è oggetto di discussione; nella costruzione si possono sempre contare 666 passi, scalini, pollici tra due punti qualsiasi per motivare l'uscita del demonio dall'inferno; allo stesso modo, prendendo le adeguate misure di un qualsiasi monumento, si può sempre trovare come quoziente, anche se l'architetto non vi aveva pensato al momento della costruzione.

Questo è il caso del Medioevo, dove è possibile dimostrare che la proporzione aurea venisse utilizzata saltuariamente, proprio come nell'architettura del XX secolo: l'americano Frank Lloyd Wright progettò la rampa del museo Guggenheim di New York secondo la forma del nautilus, il polacco Zvi Hecker ha usato uno schema a spirale aurea per il progetto di una scuola di Berlino, e nel Quincy Park di Cambridge si possono trovare vari riferimenti alla spirale aurea.

Il Diamante di Enel

Il Diamante di Enel unisce la tecnologia dell'energia solare con la sezione aurea, costruendo a Firenze, nel parco di Pratolino, una centrale fotovoltaica di struttura geodetica che rispetta le proporzioni auree per integrarsi con il luogo naturale che la circonda, risultando sia un'opera d'arte che un impianto in grado di illuminare gratuitamente il grande parco in cui si trova grazie ai 38 pannelli in silicio monocristallino che ricoprono il lato orientato a sud, e l'energia può inoltre essere conservata sotto forma di idrogeno in tre sfere di accumulo di idrogeno installate anch'esse in sezione aurea all'interno dell'involucro in acciaio.

• 42 facce in vetro temperato
• 38 pannelli fotovoltaici in silicio monocristallino
• 3 sfere in vetroresina per stoccaggio H₂
• Elettrolizzatore
• Cella a combustibile
• Sala manovra

Giorno

Fase 1

L'energia proveniente dal sole è catturata dai pannelli fotovoltaici e convertita in energia elettrica a bassa tensione (48 Vcc).

Fase 2

L'energia così prodotta è disponibile per alimentare le utenze, per esempio di un gruppo di abitazioni.

Fase 3

La parte di energia non utilizzata dall'abitazione è inviata ad un elettrolizzatore che la usa per dividere l'acqua in ossigeno e idrogeno. L'idrogeno così prodotto è inviato ad un serbatoio di accumulo.

• Ossigeno
• Idrogeno
• H₂O
• Accumulo idrogeno
• Elettrolizzatore
• Cella a combustibile
• 220 V
• 4 kW

Notte

Fase 1

L'energia, prodotta durante il giorno e immagazzinata sotto forma di idrogeno nel serbatoio di accumulo, viene utilizzata mediante una cella a combustibile che trasforma l'energia chimica contenuta nell'idrogeno in energia elettrica.

Fase 2

L'energia elettrica prodotta dalla cella a combustibile garantisce l'alimentazione continua delle utenze dell'abitazione.

• Idrogeno
• Accumulo idrogeno
• Cella a combustibile
• 220 V
• 4 kW

Il numero aureo nella scienza

Le impronte di sono molteplici e si estendono in svariati ambiti: la cosa più interessante è che questo numero così antico si sia intrecciato con più di venti secoli di storia della matematica e si congiunga esattamente con i settori matematici, scientifici e architettonici oggi avanzati.

Un altro esempio è la medicina che si è imbattuta di recente nella sezione aurea: stando ai risultati di una vasta inchiesta di un'università austriaca (di ben 150.000 soggetti di entrambi i sessi controllati e seguiti per anni), hanno miglior salute e speranza di vita più elevata coloro che hanno un rapporto tra pressione arteriosa massima e minima pari a 1.618. La scoperta dei ricercatori della presenza del numero divino nella circolazione del sangue (simbolo stesso della vita umana) non può negare il mistero che si nasconde dietro queste cifre.

Si può trovare questo numero ancora in fisica, nelle vibrazioni elettromagnetiche, in zoologia, nelle arti decorative, nei formati della carta e addirittura nelle composizioni musicali di Bach, Mozart e Beethoven.

Si ritiene infatti che, piuttosto che applicare volutamente le leggi della divina proporzione, l'uomo sia naturalmente e inconsapevolmente sensibile all'armonia della sezione aurea.

Lo scrittore che tratta quest'argomento in tutte le sue sfumature è Mario Livio, che nel suo libro La sezione aurea tratta in ottica prevalentemente storica e molto marginalmente in ottica matematica il numero phi.

Si possono trovare i 10.000 decimali di nella pagina:

http://www.cs.arizona.edu/icon/oddends/phi.htm

E così possiamo sicuramente trovare la nostra data di nascita o il nostro numero di telefono, poiché contengono qualsiasi sequenza numerica che si possa immaginare.