Appunti di Logica

Appunti di logica

Logica

Scienza: studio della realtà e del suo funzionamento -> la ricerca di una risposta ai problemi scientifici coinvolge lo studio del mondo (fattori empirici).

Filosofia: disciplina che affronta problemi filosofici -> non dipendono da questioni empiriche (come è fatto il mondo), ma possono includere fattori empirici.

La filosofia presenta diverse sottocategorie, tra cui:

• Logica: studio delle condizioni necessarie affinché un argomento sia corretto (cosa significa ragionare in modo corretto?)
• Epistemologia: studio delle condizioni necessarie per poter dire di conoscere/sapere qualcosa (cosa significa sapere/conoscere?)
• Filosofia della scienza: studio del “funzionamento” della scienza (significato dei concetti chiave e delle loro relazioni, validità dei metodi della ricerca scientifica e dei processi di ragionamento scientifico)

Enunciato: forma linguistica caratterizzata da un soggetto, una copula e un predicato/forma linguistica che può essere detta vera o falsa. Ci sono enunciati dichiarativi (descrivono uno stato di cose), ipotetici (descrivono un’ipotesi in merito a uno stato di cose), affermativi (affermano la sussistenza di un certo stato di cose), negativi (negano la sussistenza di un certo stato di cose). Gli enunciati possono essere veri, se descrivono come è fatto il mondo, o falsi, se non descrivono come è fatto il mondo.

Argomento: insieme di enunciati, suddivisi in premesse (enunciati formulati per fornire sostegno alla conclusione) e conclusione (enunciato che deriva dalle premesse) -> le premesse possono essere molte, la conclusione generalmente è una.

Gli argomenti possono essere forti, se le premesse forniscono buone ragioni per affermare la conclusione/la conclusione segue dalle premesse, o deboli, se le premesse non forniscono buone ragioni per affermare la conclusione/la conclusione non segue dalle premesse.

Un argomento può essere forte anche se i suoi enunciati sono falsi e viceversa.

Bisogna quindi distinguere tra:

• Verità degli enunciati
• Forza dell’argomento

Si può attaccare un argomento sia sul piano della verità (affermando che una o più premesse sono false), sia sul piano della forza argomentativa (affermando che la conclusione non segue dalle premesse).

Argomento deduttivo: argomento in cui in tutti i casi in cui le premesse sono vere, anche la conclusione è vera/non esiste alcun mondo possibile in cui le premesse sono vere e la conclusione è falsa -> ciò non implica che le premesse non possano mai essere false. Quello che conta è che SE esse fossero vere, sarebbe vera anche la conclusione.

Gli argomenti deduttivi sono argomenti forti, perché dalla verità delle premesse segue necessariamente la verità della conclusione (la verità delle premesse fornisce ottime ragioni per ritenere che anche la conclusione sia vera) -> propagano la verità (ideale regolativo).

Argomento induttivo: argomento che non è deduttivo, cioè in cui non è vero che in tutti i casi in cui le premesse sono vere, anche la conclusione è vera.

Metodo di decisione: metodo che, dato un certo argomento, permette di stabilire se tale argomento sia deduttivo o meno. Esso può essere:

• Corretto: a ogni sua applicazione fornisce la risposta giusta
• Completo: fornisce una risposta a qualunque argomento venga applicato

Regole di inferenza: regole che, applicate a un insieme di enunciati, permettono di derivare altri enunciati -> se sono corrette, producono una conclusione che segue logicamente dalle premesse (argomento deduttivo).

L’applicazione ripetuta delle regole di inferenza a un certo numero di enunciati si chiama derivazione o dimostrazione.

Tra le due vie, quella del metodo di decisione è più sicura per stabilire se un argomento sia deduttivo o meno, perché se esso è corretto e completo, darà sicuramente una risposta “sì” o “no”, mentre con la derivazione, se non riusciamo a derivare la conclusione dalle premesse, applicando correttamente le regole di inferenza, non siamo sicuri che l’argomento non sia deduttivo, perché potremmo non aver applicato le regole giuste o nel giusto ordine.

Logica enunciativa o proposizionale

Logica enunciativa (o proposizionale): linguaggio formale il cui vocabolario comprende:

• Termini logici: insieme di connettivi ˄, ˅, ¬, →, ↔
• Termini descrittivi: numero indefinito di variabili enunciative A, B, C…
• Termini ausiliari: parentesi tonde ( )

Combinando questi termini si ottengono delle formule (o enunciati), che possono essere ben formate o non ben formate. Per formare delle formule ben formate, si devono seguire 7 regole, che permettono di generare fbf potenzialmente all’infinito (definizione ricorsiva).

Enunciato atomico: enunciato dalla forma soggetto + verbo + (complemento).

Enunciato composto: enunciato ottenuto componendo più enunciati atomici attraverso i connettivi.

Termini logici o connettivi: espressioni del linguaggio enunciativo che consentono di formare enunciati composti connettendo tra di loro altri enunciati (atomici o composti).

Valore di verità: valore che determina se un enunciato (atomico o composto) è vero o falso.

Principio di verofunzionalità: principio secondo cui il valore di verità di un enunciato composto dipende esclusivamente dal valore di verità degli enunciati che lo compongono (atomici o composti) e dai connettivi utilizzati.

Tavola di verità: tabella che indica il valore di verità di un enunciato composto in funzione di tutte le possibili combinazioni di valori di verità degli enunciati che lo compongono.

Tavole di verità

E (˄)

A ˄ B
V V V
V F F
F V F
F F F

O (˅) -> “o” inclusiva

A ˅ B
V V V
V F V
F V V
F F F

Se… allora (→)

A → B
V V V
V F F
F V V
F F V

Non (¬)

¬ A
F V
V F

Nelle tavole di verità, se ci sono due variabili enunciative, ci saranno 4 righe (2²), se ce ne sono tre, ci saranno 8 righe (2³) e così via.

Condizione sufficiente: se… allora (A→B) dove A è condizione sufficiente per B.

Condizione necessaria: solo se… allora (B→A) dove A è condizione necessaria per B.

Per costruire le tavole di verità di un enunciato composto, si parte prima dai valori di verità degli enunciati più “interni” (quelli dentro le parentesi), per poi proseguire con quelli più esterni, in relazione ai valori di verità calcolati precedentemente.

Tautologia: enunciato che è sempre vero in tutti i mondi possibili.

Contraddizione: enunciato che è sempre falso in tutti i mondi possibili -> qualsiasi argomento in cui nelle premesse c’è una contraddizione, è deduttivo.

Contingente: enunciato che a volte è vero e a volte è falso.

Per capire se un argomento è deduttivo o meno usando le tavole di verità, bisogna costruire le tavole delle premesse e della conclusione, e vedere se alla fine la conclusione è vera in tutte le righe in cui anche le premesse lo sono.

Regole di inferenza corrette

• Doppia negazione
• Semplificazione (o eliminazione) della congiunzione
• Introduzione della disgiunzione
• Ex absurdo
• Modus ponens
• Modus tollens

Regole di inferenza non corrette

• Affermazione del conseguente
• Negazione dell’antecedente

Doppia negazione: ¬¬α α
o α ¬¬α

Semplificazione della congiunzione: (α˄β) (α˄β)
o α β

Introduzione della disgiunzione: α
o (α˅β)

Ex absurdo: (α˄¬α) -> da una contraddizione si può inferire qualsiasi enunciato β

Modus ponens: (α→β)
o α
β

Modus tollens: (α→β)
o ¬β
¬α

Introduzione della congiunzione: α -> posso congiungere due enunciati dell’argomento, β purché siano dimostrati
(α˄β)

Eliminazione della disgiunzione: (α˅β)
o (α→γ)
(β→γ)
γ

Regole di de Morgan: (¬α˄¬β) (¬α˅¬β)
o ¬(α˅β) ¬(α˄β) => ricordarsi di cambiare i connettivi
¬(α˅β) ¬(α˄β)
(¬α˄¬β) (¬α˅¬β)

Introduzione dell’implicazione: se si aggiunge un’ipotesi alle premesse che risulti essenziale per arrivare alla conclusione, allora si può concludere che dall’ipotesi segue la conclusione.

Introduzione della negazione: se si aggiunge un’ipotesi alle premesse che permetta di derivare una contraddizione, allora si può negare tale ipotesi.

Affermazione del conseguente: (α→β)
o β => Non corretta α

Negazione dell’antecedente: (α→β)
o ¬α => Non corretta ¬β

Eccezione: la regola della doppia negazione è l’unica che si può applicare dentro le proposizioni
(A˄¬B)
(¬¬A˄¬B)

Epistemologia

Concezione di verità come corrispondenza: un enunciato è vero se e solo se la realtà è proprio come viene descritta da tale enunciato, cioè se l’enunciato “dice” che le cose stanno nel “modo in cui stanno”, indipendentemente dalle nostre credenze.

Realismo ontologico: esiste una realtà indipendente da ciò che affermiamo e crediamo a proposito di essa -> è il modo in cui ordinariamente utilizziamo il concetto di “verità” e che accettiamo come ovvio.

Implicazioni di queste due posizioni:

• Indipendenza di verità e affermazione: il fatto che un enunciato p sia vero o falso dipende unicamente da “come è fa