Sistemi - Tecnico delle industrie elettriche - Soluzione - Maturità 2013

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Sessione ordinaria 2013

Seconda prova scritta

Ministero dell'Istruzione, dell'Università e della Ricerca

M045 - Esame di Stato di Istituto Professionale

Corso di ordinamento

Indirizzo: Tecnico delle industrie elettriche

Tema di: Sistemi - Automazione e organizzazione della produzione

(Testo valevole per i corsi di ordinamento e per i progetti sperimentali assistiti)

Testo della prova

Si desidera automatizzare le operazioni del processo di stagionatura del prosciutto relative alla fase di raffreddamento. All'avvio del ciclo, tramite un pulsante PM, si apre la porta della cella frigorifera e vengono immessi N prosciutti; a questo punto la porta si richiude. I prosciutti rimangono un tempo T1 nella cella per raggiungere la temperatura adeguata per la loro lavorazione. Infatti, dopo un tempo T1, la cella si deve riaprire per estrarre i prosciutti. Nel caso in cui la temperatura all'interno della cella aumentasse e raggiungesse il valore T0, il sistema deve, per un tempo T2, attivare un dispositivo di raffreddamento.

Il sistema di controllo ad anello chiuso della temperatura all'interno della cella il cui modello matematico è G_s(s) = 3,2/(1 + 2,5s) comprende:

• Un sistema di comando la cui funzione di trasferimento è G_com(s) = 2,5 (1 + 0,25s)/(1 + 2,5 · 10^-4s);
• Un regolatore proporzionale con K_P = 1,6;
• Un trasduttore che presenta un coefficiente di temperatura pari a 25 mV/°C e un polo p = 4 10⁴ rad/s;
• Un circuito di condizionamento, considerato sistema pronto.

Il candidato, fatte eventuali ipotesi aggiuntive,

• Descriva il sistema di controllo, rappresentandolo tramite uno schema a blocchi; ne calcoli la funzione di trasferimento, dopo aver dimensionato il circuito di condizionamento, sapendo che alla temperatura desiderata di 4°C la tensione di riferimento vale V_R = 5 V;
• Analizzi la stabilità del sistema;
• Modifichi il valore della costante K_P del regolatore in modo da avere un margine di fase di 45°;
• Determini gli effetti dovuti al cambiamento del valore di K_P sulla variazione della temperatura nell'anello chiuso sapendo che ad anello aperto tale variazione è pari al 15%.

Infine il candidato, fatte eventuali ipotesi aggiuntive, scelti di conseguenza i dispositivi necessari, descriva una possibile configurazione dell'automatismo e illustri una soluzione usando un linguaggio a sua scelta.

Durata massima della prova: 6 ore.

È consentito l'uso di manuali tecnici e di calcolatrici non programmabili.

È consentito l'uso del dizionario bilingue (italiano-lingua del paese di provenienza) per i candidati di madrelingua non italiana.

Non è consentito lasciare l'Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.

Regolazione di temperatura

1)

V_R 5 V    E    K_P    C_com    G_s    S₀ 4 °C

C_TR    K_com

2)

C₀ = C_i · H    dove

C_i = K_P · C_com · G_s

= 1,6 · 2,5 · (1 + 0,25s) / (1 + 25 · 10^-4s) · 3,2 / (1 + 2,5s)

= 12,8 · (1 + 0,25s) / ((1 + 25 · 10^-4s)(1 + 2,5s))

K_P = 1 / P = 1 / 40000 = 25 · 10^-6 s

H = K_com · 0,025 / (1 + 25 · 10^-6s)

In f.d.t. ad anello aperto vale,

C₀ = C_i · H

C₀ = K_com · 0,32 · (1 + 0,25s) / ((1 + 25 · 10^-4s)(1 + 2,5s)(1 + 25 · 10^-6s))

Per calcolare K_com bisogna fare riferimento alla funzione di trasferimento ad anello.

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Chiudo, tuttavia per il calcolo di K_con basta scrivere l'equazione a regime di T₀ ottenuta con il teorema del valore finale per un ingresso a gradino della tensione di riferimento V_R(s).

C_W = ¹/_H · ^C_iH/_{1 + CiH} = ¹/_H · ^C₀/_{1 + C0}

T₀ = lim s → 0 s · ^V_R/_s · C_W(s)

Serviamo per completare l'equazione di C_W(s):

C_W = ^{12,8 (1 + 25·10-6s)(1 + 0,25s)}/_{(1 + 275·10^-6s)(1 + 2,5s) + Kcon·0,32(1 + 0,25s)}

Il valore finale della temperatura T₀ vale 4 °C per V_R = 5 V e ponendo s = 0 in C_W(s).

^{5 · 12,8}/_{1 + Kcon·0,32} = 4

Dalla quale si ricava K_con:

K_con = (^{5 · 12,8}/₄ - 1) ¹/_0,32 = 46,875

Pertanto la C₀ vale:

C₀ = 15 · ^{(1 + 0,25s)}/_{(1 + 2,5·10^-4s)(1 + 2,5s)(1 + 25 · 10^-6s)}

Dove il guadagno statico vale K₀ = 46,875·0,32 = 15.

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3)

Possiamo calcolare il diagramma di Bode:

K₀ = 20 log 15 = 23,52 dB

z = ¹/_0,25 = 4 rad/s

p₁ = ¹/_2,5 = 0,4 rad/s

p₂ = ¹/_{2,5 · 10^-4} = 4000 rad/s

p₃ = ¹/_{25 · 10^-6} = 40000 rad/s

39,43

(dB)

Bode diagram (asymptotic)

23.52

0

-50

-100

0°

-50°

-100°

-150°

10^-3 10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁶ 10⁷

62,5°

135°

6000

40000

Il grafico del guadagno totale è l'asse di dB con pendenza -20 dB/dec; il sistema è pertanto stabile; la frequenza di taglio vale 6000 rad/s.

(N.B.) L'ultimo risultato mi può tornare in modo analitico.

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4)

Il nuovo valore di K_p si può ottenere traslando semplicemente il diagramma di Bode.

Per avere un margine di fase di 45°, occorre una fase di -135°, pertanto nel diagramma di Bode si traccia una linea partendo da -135° fino a toccare il diagramma di fase. In corrispondenza di tale punto si traccia una linea fino a toccare l'asse pB, si trova così la nuova frequenza di taglio w_c = 40.000 rad/s.

Poiché la posizione dei poli e dello zero non cambia si ottiene un nuovo diagramma del guadagno. In questo diagramma il guadagno statico ha valore K₀ = 39,43 dB. In queste condizioni la G ad anello aperto vale:

K_0u = 10^K₀/20 = 10^39,43/20 = 93,65

Per cui:

G₀ = 93,65 · ^{(1 + 0,25s)}/_{(1 + 2,5 · 10^-4s)(1 + 2,5s)(1 + 25 · 10^-6s)}

Dove K_0u = (K_p · 2,5 · 3,2) (46,875 · 0,025) = 93,65

K_p = 9,989 10

5)

L'aumento del guadagno statico fa diminuire l'errore a regime e, tuttavia, può rendere il sistema instabile. Il guadagno statico K_st è dovuto al nuovo valore K_p del regolatore proporzionale per un margine di fase di 45°.

Questo è il valore limite del guadagno statico al di sopra del quale per la terna di Bode il sistema diventa instabile. Siamo quindi al limite di stabilità. L'errore del sistema ad anello chiuso vale:

Per K_p = 1,6 e K_st = 15

e_R = lim_{s 0} s · V_R/s · 1/(1 + G_o(s))

e_R = V_R · 1/(1 + K_st) = 5 · 1/(1 + 15) = 0,3125

e_R% = 31,25%

Per K_p = 10 e K_st = 93,65

e_R = lim_{s 0} s · V_R/s · 1/(1 + G_o(s))

e_R = 5 · 1/(1 + 93,65) = 0,0528

e_R = 5,28%

In un sistema privo di regolazione l'errore percentuale introdotto da un disturbo introdotto in uscita è uguale al

% = (U - U_d) / U_d · 100 = / U_d · 100 = 15%.

In questo l'errore u_d è la risposta desiderata.

Cioè u₀ = 4°C, calcoliamo quindi = u - u₀

= 15°/100 · u_d = 15/100 · 4 = 0,6°C

u = + u_d = 0,6 + 4 = 4,6°C.

Dove u è la risposta effettiva.

In un sistema con regolazione e con guadagno statico K_st lo scostamento massimo percentuale della risposta reale dal valore desiderato a causa di un disturbo in uscita vale:

u% = /(1 + K_st) · 1/u_d · 100

Per K_st = 15

u% = 0,6/(1 + 15) · 1/4 · 100 = 0,9375%

Per K'_st = 93,65

u'% = 0,6/(1 + 93,65) · 1/4 · 100 = 0,158%

Pertanto il sistema è anche meno sensibile ai disturbi. Il valore finale della temperatura sarà

u_f = u_d + /(1 + K'_st) = u + 0,6/(1 + 93,65) = 4,0063°C

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