Maturità 2019 - Soluzione seconda prova di matematica.

Problema 1

Punto 1

2−

( ) ( )

= + = 0

La funzione ha come asintoto orizzontale destro e sinistro in quanto ( )

lim = 0

→±∞ 2

2−

( ) ( )

= +

La derivata della funzione è pari a:

2 2

′ 2− 2−

( ) ( )(2 )

= + + − 2 =

2

2− 2 ( )

[−2 2]

= + 2 − + +

La derivata prima è positiva se:

2 ( )

−2 + 2 − + + 2 > 0

L’equazione 2 ( ) ( 2)

2 − 2 − − + = 0

ha 2 soluzioni reali e distinte in quanto il determinante è esprimibile come somma di 2 quadrati:

2 2 2 2 2

( ) 2( 2) ( )

− + + = 3 + 2 + = 2 + +

di conseguenza la funzione presenterà sempre un massimo e minimo

= 0

relativo e, visto che è asintoto orizzontale destro e sinistro, tali estremi relativi sono anche assoluti.

Le due funzioni si intersecano nel punto (2,1) se:

4 − 2 + = 1 =1

{ →{

2 + = 1 = −1

Punto 2

2 è una parabola con concavità verso l’alto e

( )

= − − 1

La funzione 1 5

= ( , − ).

vertice in 2 4 2

2−

( ) ( 1)

= − > 1,

La funzione è definita in R, è positiva per

= 0

non ha asintoti verticali ed ha come asintoto orizzontale.

La derivata prima è 2

′ 2− 2

( ) (−2 1)

= + 4 −

2−√2 2+√2

< <

ed è positiva per pertanto la funzione ha un minimo

2 2

2−√2 2+√2

all’ascissa un massimo all’ascissa

= =

ed .

2 2

I punti di minimo e massimo sono:

2 − √2 √2 2 + √2 √2

( ,− ),( , )

2 2 2 2

La derivata seconda è 2

′′ 2− 2

( ) ( 1)(2 1)

= 2 − − 4 −

pertanto ci sono 3 flessi alle ascisse:

2−√6 2+√6

= , = 1, = .

2 2

I punti di flesso sono:

2 − √6 √6 2 + √6 √6

(1,0),

( ,− ) , ( , )

1 2 3

2 2 2 2

(1,0)

In particolare il punto di flesso è centro di simmetria; infatti

2

applicando le equazioni di simmetria si ha:

=2− =2−

{ →{ →

= − = −

2 2

2(2−)−(2−) 2−

(2 1) ( 1)

→ − = − − → = −

2

( ) (0, −1)

= − − 1

La tangente alla funzione in ha equazione

′ (0) [2 1]

= − 1 = − ∙ − 1 = − − 1

=0 2

2−

( ) ( 1) (0, −1)

= −

2

′ 2− 2

(0) (−2 1)]

= − 1 = [ + 4 − ∙ − 1 = − − 1

=0 (0, −1)

Pertanto le due funzioni, avendo stessa tangente nel punto , sono tangenti in esso.

L’area compresa tra i due grafici è pari a:

2 2

2− 2

() [( 1) ( 1)]

= ∫ − − − −

0 2

2

2− 3 2

1 8 1 4

= [− − + + ] = − − + 2 + 2 + =

2 3 2 2 3 2 3

0

Punto 3

La circuitazione del campo magnetico per il teorema di Ampere è pari a:

⃗

Γ ( ) = ∑

0

dove nella sommatoria vanno considerate solo ed esclusivamente le correnti

.

concatenate con

Considerando che 3

3 4

( ) = ≅ 1.06 > 1

2 2

3 1 1

( ) = − > −

2 4 2

,

deduciamo che solo le correnti sono concatenate a pertanto,

1 2

considerando un orientamento antiorario di si ha:

⃗ (−2 )

Γ ( ) = +

0 2

La circuitazione è:

• 0 < < 2;

negativa se è entrante oppure uscente con

2 2

• = 2;

nulla se è uscente e vale

2 2

• > 2

positiva se è uscente ed è

2 2

Punto 4

Per la legge di Faraday-Neumann si ha: ⃗

Φ( )

=−

( )

= cos

Considerando si ha:

⃗ ( )

Φ( ) = = Scos

⃗

Φ( )

= − = Sω sin

sin = 1

Il valore della forza elettromotrice è massimo quando e vale

( )

=

( )