Moto di scivolamento su una semisfera

_Steven
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Scopri come calcolare l'altezza di distacco di un corpo che scivola su una semisfera liscia. Analizzeremo il problema utilizzando la conservazione dell'energia meccanica e le forze in gioco, per determinare l'altezza critica in cui il corpo perde aderenza.

Concetti Chiave

  • Una massa scivola su un blocco di ghiaccio semisferico privo di attrito e si stacca a un'altezza di 2R/3.
  • L'analisi si basa sulla conservazione dell'energia meccanica e sull'equilibrio delle forze al punto di stacco.
  • La forza centripeta necessaria è fornita dalla componente radiale della forza peso al punto di distacco.
  • La relazione tra velocità e altezza nel punto di stacco è espressa da v² = g · h.
  • Il bilancio energetico permette di derivare l'altezza di stacco, confermando h = 2/3R.

In questo appunto risolveremo un problema particolare utilizzando, tra le altre cose, la conservazione dell'energia meccanica. Si tratta di una massa che scivola (a partire dal polo) lungo un blocco di ghiaccio (che assumeremo quindi privo di attrito) e si vuole capire a che altezza la massa perde aderenza (e quindi si stacca) dal blocco. Vediamo il testo dell'esercizio

Testo dell'esercizio

Una massa è appoggiata su un blocco di ghiaccio semisferico. Si dà una piccola spinta e questa inizia a slittare sul ghiaccio. Si dimostri che, se si suppone il ghiaccio privo di attrito, tale massa si stacca ad un'altezza pari a
[math]2R/3[/math]
.

Soluzione dell'esercizio

Partiamo dal presupposto che nel punto di distacco la reazione normale deve annullarsi. Prima di tutto occorre disegnare la semicirconferenza di centro
[math]O[/math]
e raggio
[math]R[/math]
. Prendiamo un punto
[math]P[/math]
su di essa che si trova ad altezza
[math]h[/math]
rispetto al diametro della circonferenza (preso a livello della terra), disegniamo la forza peso e scomponiamola nella componente radiale e tangenziale; tracciamo per maggiore chiarezza il raggio
[math]OP[/math]
e il segmento che da
[math]P[/math]
cade perpendicolarmente sul diametro, cioè il segmento lungo cui è diretta la forza peso.
Infine chiamiamo
[math]\alpha[/math]
l'angolo tra questi due segmenti.

Facciamo delle considerazioni energetiche: all'inizio il corpo possiede energia potenziale pari a

[math]E_i = U_i = m \cdot g \cdot R[/math]
Arrivato nel punto
[math]P[/math]
ad altezza
[math]h[/math]
abbiamo che ha energia cinetica e una frazione dell'energia potenziale iniziale, ovvero:
[math]E_P = m \cdot g \cdot h + 1/2 \cdot m \cdot v^2[/math]
Dobbiamo esplicitare
[math]v[/math]
. Nel moto circolare abbiamo che
[math]F_c=m \cdot v^2/R[/math]
. La forza centripeta
[math]F_c[/math]
nel punto di stacco
[math]P[/math]
è data dalla componente radiale della forza peso, cioè
[math]F_c=m \cdot g \cdot \\cos (\alpha)[/math]
. E' semplice rendersi conto che il coseno dell'angolo
[math]\alpha[/math]
è esprimibile come
[math]h/R[/math]
tramite la trigonometria.
Quindi sapendo
[math]F_c=m \cdot v^2/R, F_c=m \cdot g \cdot \\cos (\alpha)[/math]
e
[math]\\cos (\alpha)=h/R[/math]
abbiamo che
[math]m \cdot g \cdot h/R=m \cdot v^2/R[/math]
ed eseguendo le semplificazioni otteniamo per
[math]v^2[/math]
l'espressione
[math]v^2=g \cdot h[/math]
Ricordiamo il bilancio energetico
[math]m \cdot g \cdot R=m \cdot g \cdot h + 1/2 \cdot m \cdot v^2[/math]
in cui sostituiamo la relazione appena trovata:
[math]m \cdot g \cdot R=m \cdot g \cdot h + 1/2 \cdot m \cdot g \cdot h[/math]
Semplificando e sommando si ottiene
[math]h=2/3R[/math]
.
Studia con la mappa concettuale

Domande da interrogazione

  1. A che altezza si stacca la massa dal blocco di ghiaccio semisferico?

    2. La massa si stacca dal blocco di ghiaccio ad un'altezza pari a \( \frac{2R}{3} \) (come dimostrato nel testo).

  2. Qual è il principio fisico utilizzato per risolvere il problema della massa che scivola sul ghiaccio?

    3. Si utilizza la conservazione dell'energia meccanica per analizzare il moto della massa e determinare il punto di distacco.

  3. Come si determina la relazione tra la forza centripeta e la forza peso nel punto di stacco?

    4. La forza centripeta è uguale alla componente radiale della forza peso, esprimibile tramite l'angolo \( \alpha \) e l'altezza \( h \), portando alla relazione \( v^2 = g \cdot h \).

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