Tracce svolte quaderno esercizi Microeconomia

Esercizi 1

Massimo A. De Francesco

Dipartimento di Economia politica e statistica

Esercizio 1

1. (a) Si chiarisca che cosa si intende per preferenze convesse. Si utilizzi anche una rappresentazione grafica.

(b) Si supponga che, per un determinato individuo, si abbiano le seguenti relazioni di preferenza tra i panieri e (2; 8), (10; 4) (6; 6): (6; 6) Si chiarisca se tali relazioni di preferenza sono coerenti (2; 8) (10; 4). oppure no con l’assunzione di "preferenze convesse" oppure no.

Soluzione

Lo sono. Infatti vediamo che dati i due panieri e tra (2; 8) (10; 4), i quali il consumatore è indifferente, il consumatore preferisce strettamente a tali panieri il paniere che di quei panieri rappresenta una (6; 6) 1212 Pertanto, le media semplice: risulta infatti (2; 8) + (10; 4) = (6; 6). relazioni ipotizzati sono coerenti con l’ipotesi di preferenze strettamente convesse.

Esercizio 2

2. Si abbiano le seguenti informazioni: le preferenze di un consumatore sono esprimibili con una funzione di utilità; in u(x ; x ) = x x1 2 1 2 un determinato periodo il reddito dell’individuo è risultato pari a 80, il prezzo del bene 1 è risultato pari a e l’individuo ha acquistato una 2 quantità pari a 20 del bene 1. Si dimostri che i parametri e della a b funzione di utilità di questo individuo sono tali che risulti a = b.

Soluzione

Sappiamo che, con una funzione di utilità Cobb-Douglas, la quantità a m domandata del bene 1 è . Sostituendo in tale equazione i x =1 a+b p1 a 80 valori osservati si ottiene , da cui si ricava 20 = a = b. a+b 2

Esercizio 3

3. Le preferenze di un individuo siano rappresentabili mediante la 0;2 0;8 funzione di utilità . I prezzi sono e Si deter-u = x x p = 0; 5 p = 1.1 21 2 mini l’equazione della curva reddito-consumo (o sentiero di espansione del reddito) e la si rappresenti graficamente.

1

Soluzione

(a) Ricordando come si presenta la funzione di domanda di ciascun bene nel caso di funzione di utilità Cobb-Douglas, lo studente troverà facilmente che, nel caso in esame, le quantità domandate dei due beni sono e Dalla seconda equazione si ri-x = 0; 4m x = 0; 8m.1 2 cava sostituendo l’espressione trovata per nella prima m = 1; 25x ; m2 equazione si ottiene, con semplici passaggi, . (Alternativamente, x = 2x2 1 si potrà pervenire al medesimo risultato dividendo membro a membro le equazioni e La curva reddito-consumo è pertanto x = 0; 4m x = 0; 8m.1 2 una semiretta passante per l’origine con coefficiente angolare pari a 2: al variare del reddito, il rapporto tra le quantità consumate dei beni 2 e 1 rimane costante e pari a due.

Esercizio 4

2=3 1=34.(a) La funzione di utilità di un consumatore sia . u(x ; x ) = x x1 2 1 2 Si determini l’equazione della curva di indifferenza alla quale appartiene o o il paniere (x ; x ) = (8; 27).1 2

(b) Si scriva tale equazione in forma esplicita.

(c) Si determini il rapporto delle utilità marginali in cor-U M =U M1 2 o o rispondenza del paniere ) = (8; 27).; x(x 21

Soluzione

2=3 1=3(a) Tale paniere fornisce una utilità pari a Pertanto, 8 27 = 12. la curva di indifferenza a cui appartiene il paniere considerato è l’insieme di tutti i panieri che forniscono una utilità pari a 12: l’equazione di tale 2=3 1=3 curva è perciò x x = 12.1 2

(b) Scritta in forma esplicita, l’equazione della curva di indifferenza 1728 . in esame è x =2 21x

(c) Derivando parzialmente la funzione di utilità rispetto a si trova x 11=3 1=32 ; derivando parzialmente rispetto a si trova U M = x x x U M =1 2 21 232=3 2=3 U M x1 ;. Il rapporto tra le utilità marginali è perciò x = 2x 211 2 U M x3 2 1U M o o in corrispondenza del paniere risulta perciò (x ; x ) = (8; 27) =11 2 U M 2272 = 6; 75.8

Esercizio 5

5. La funzione di utilità del consumatore sia 21 per32x 2x + x ; x 81 2 1u(x x ) =1; 2 per128 + x x 82 1 dove è la quantità del bene 1 e è la quantità di denaro (per esempio, x x1 2 euro) che il consumatore decide di spendere per acquistare altri beni. Indichiamo con il reddito monetario del soggetto. Supponiamo poi m che il prezzo del bene 1 sia Poiché esprimiamo i prezzi in termini p = 4.1 2 monetari (in termini di euro), essendo il bene 2 denaro, il suo prezzo è per definizione (il prezzo di un euro è 1 euro). p = 12

(a) Si determini la quantità domandata del bene 1 se m = 40.

(b) Si determini la quantità domandata del bene 1 se m = 60.

(c) Cosa si può concludere alla luce delle risposte ai quesiti precedenti?

Soluzione

(a) Per il dato valore di , il vincolo di bilancio è da p 4x + x = m1 1 2 cui . Sostituendo tale espressione per nella funzione di x = m 4x x2 1 221 e utilità si ottiene . Imponiamo la condizione u (x ) = 32x 2x + m 4x1 1 1 del primo ordine per un massimo di questa funzione (ignorando ogni altro vincolo su ), cioè poniamo uguale a zero la derivata prima della x 1 funzione: si ottiene da cui Prima di concludere 32 4x 4 = 0, x = 7.1 1 che è questa la quantità che massimizza l’utilità del consumatore sotto il vincolo di bilancio dobbiamo però controllare che la soluzione trovata soddisfi l’ulteriore vincolo di appartenere all’intervallo entro il quale xi h 1m . Tale inter-può realmente essere scelto, vale a dire, l’intervallo 0; p140 vallo, per è quindi è effettivamente m = 40, [0; ] = [0; 10], x = 714 la quantità domandata dal consumatore, quella cioè che massimizza la sua utilità dato il vincolo di bilancio. La rappresentazione grafica della Figura 1 ben illustra questo risultato: in questa figura viene rappresentata la funzione e si vede chiaramente u (x ) = 32x 2x + 40 4x1 1 1 che il massimo si ha per il valore di per il quale la derivata x = 7, x1 1 della funzione risulta uguale a zero. Infatti, tale valore risulta inferiore alla quantità massima del bene 1 che il consumatore può acquistare (rappresentata dall’ascissa della retta verticale verde).

(b) Con lo stesso procedimento di cui al punto (a) si trova che la quantità domandata per è sempre pari a 7. Infatti, ponendo la m = 60 21 e derivata prima della funzione pari a zero si u (x ) = 32x 2x + 60 4x1 1 1 ottiene sempre, ovviamente, e è compreso nell’intervallo x = 7; x = 71 1 all’interno del quale può realmente essere scelto, intervallo che ora si x ih1 m 60 è ampliato rispetto a prima essendo stavolta = [0; ] = [0; 12].0; p 41

(c) Un aumento del reddito da 40 a 60 non ha modificato la quantità domandata del bene 1: abbiamo cioè assenza di "effetti ricchezza" per quanto riguarda la domanda del bene 1.

Esercizio 6

6. Si abbia la stessa funzione di utilità di cui all’esercizio precedente e sia sempre Stavolta sia però Si determini la quantità p = 4. m = 20.1 domandata del bene 1.

Soluzione

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Figure 1: Tenuto conto di tutti i vincoli, la massima utilità si ha qui dove la derivata prima della funzione è uguale a zero.

Utilizzando il procedimento adottato nell’esercizio precedente, questa 21 e volta la funzione di utilità da massimizzare diventa + u (x ) = 32x 2x1 1. Ponendo la derivata prima pari a zero si ottiene ovviamente 20 4x 1 Questa volta 7 risulta però superiore alla quantità massima x = 7:1 m 20 La quantità che il consumatore può acquistare, pari a = 5.=p 41 domandata dal consumatore sarà stavolta in quanto l’utilità del x = 5,1 consumatore risulta massima proprio in corrispondenza di tale valore di 21 risulta. Si vede infatti che la funzione + 20 4xx u(x ) = 32x 2xh i 11 1 1 m crescente lungo tutto l’intervallo dato che la derivata 0; = [0; 5], p1 della funzione risulta sempre positiva lungo tutto l’intervallo, come lo studente può constatare. Ad ogni modo, la Figura 2 illustra questo fatto.

Esercizio 7

7. Le preferenze di un individuo siano rappresentate dalla funzione 0;60;4 . Il reddito è e il prezzo del bene 2 è di utilità m = 30u = x x1 2 Quali sono le scelte del consumatore per per p = 3. p = 1, p = 2,2 1 1 per Si rappresentino tali scelte nel grafico, inserendo le rette p = 4?1 di bilancio e (sia pure in modo approssimato) le curve di indifferenza sulle quali si posiziona il consumatore). Si scriva l’equazione della curva prezzo-consumo e la si rappresenti graficamente.

Soluzione

Applicando le formule per le quantità domandate dei due beni nel caso di funzione di utilità Cobb-Douglas si trova che e quindi x = 624

Figure 2: Con un reddito la scelta ottima consiste nel doman-m = 20, dare cioè nello spendere tutto il reddito nell’acquisto del bene x = 5,11.

non varia al variare di . Per quanto riguarda la domanda del bene 1: p 1 per risulta per risulta per risulta p = 1 x = 12; p = 2 x = 6; p = 41 1 1 1 1 L’equazione della curva prezzo-consumo è nel grafico, x = 3. x = 6;1 2 tale equazione è rappresentata dalla linea orizzontale che unisce i punti di tangenza ottenuti per i diversi prezzi ipotizzati.

Esercizio 8

8. Le preferenze di un consumatore siano rappresentabili mediante 0;4 0;8 la funzione di utilità . I prezzi dei beni sono u = x x p = 4, p = 2.1 21 2 Si determini l’equazione della curva reddito-consumo e la si rappresenti graficamente.

Soluzione

Sfruttando le proprietà delle funzioni di domanda con funzioni di utilità Cobb-Douglas, si trova che l’equazione è . Nella Figura x = 4x2 14 abbiamo tracciato, oltre alla curva reddito-consumo, anche alcune rette di bilancio, corrispondenti a livelli di reddito 20, 40 e 80.

Esercizio 9

9. Il consumatore è interessato al consumo dei beni 1 e 2. Supponiamo che le sue preferenze siano tali che risulti e che le sue (4; 12) (10; 6) s preferenze siano strettamente convesse. Si dimostri che (7; 10) (10; 6).

Soluzione

Si rappresentino nel piano i panieri e e si unis-(x ; x ) (4; 12) (10; 6)1 2 cano i due punti con un segmento. I due punti suddetti si trovano per ipotesi su una stessa curva di indifferenza; inoltre, data l’ipotesi di stretta

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Figure 3: La curva prezzo-consumo è la linea orizzontale di equazione x = 6:2 Figure 4: L’equazione della curva reddito-consumo è .x = 4x2 16

convessità delle preferenze, il segmento che unisce questi due punti si trova interamente al di sopra (salvo che ai suoi estremi) della curva di indifferenza. Al tempo stesso, si verifica facilmente che il punto che rappresenta il paniere si trova al di sopra del segmento: a maggior (7; 10) ragione perciò tale punto risulta al di sopra della curva di indifferenza alla quale appartengono i panieri e (4; 12) (10; 6).

Esercizio 10

10. Il bene 1 è un bene discreto, la cui quantità è perciò esprimibile come un numero intero. La funzione di utilità del consumatore sia 21 per+ x ; x 416x 2x 2 11u(x x ) =1; 2 per32 + x x 42 1 dove è la quantità del bene 1 e è la quantità di denaro che il x x1 2 consumatore decide di spendere sugli altri beni. Il reddito del soggetto è m = 60.

(a) Si determinino i prezzi di riserva di quantità del bene 1 pari a 1, 2, 3 e 4.

(b) Si chiarisca perché il consumatore non domanderà mai una quantità maggiore di 4.

Soluzione

(a) Ricordiamo che è tale che il consumatore sia indifferente tra r 1 acquistare una unità del bene 1 o non acquistarne affatto. Pertanto, deve soddisfare l’equazione vale r u(1; 60 r ) = u(0; 60),1 12 a dire, l’equazione da cui 16 1 2 1 + 60 r = 60, r = 14.1 1 Analogamente, è tale che il consumatore sia indifferente tra acquistare r 2 due unità del bene 1 o acquistarne una: pertanto, deve soddisfare r 2 l’equazione vale a dire, l’equazione u(2; 60 2r ) = u(1; 60 r ), 162 22 2 , da cui Procedendo 2 2 2 +60 2r = 16 1 2 1 +60 r r = 10.2 2 2 in modo analogo, si troverà ed r = 6 r = 2.3 4

(b) Dalla funzione di utilità si vede che, se acquista una quantità del bene 1 maggiore di 4, l’utilità del consumatore diventa 32 + x =2 e quindi diminuisce all’aumentare di .32 + 60 p x = 92 p x x1 1 1 1 1

Esercizio 1 aggiuntivo

71. Inizialmente, i prezzi dei beni 1 e 2 sono rispettivamente 12 e 12, il consumatore ha un reddito monetario di 288 ed acquista il paniere (10; 14) dei beni 1 e 2; successivamente, il reddito monetario rimane invariato, i prezzi dei beni 1 e 2 sono 18 e 9,6, rispettivamente, ed egli acquista il paniere (8; 15).

(a) Dalle scelte del consumatore possiamo desumere, e in che modo, se il suo benessere è migliorato o peggiorato? < 1; P = 0; 916 < 1: il benessere è peggiorato. Per la [L = 0; 9583 qq motivazione di questa conclusione, vedere la lezione sull’argomento o il libro di testo]

(b) Il comportamento del consumatore è coerente con l’assioma debole delle preferenze rivelate e perché sì o perché no? [È coerente.]

(c) Si utilizzi anche una rappresentazione grafica per illustrare le risposte fornite ai punti (a) e (b).

Esercizio 2 aggiuntivo

2. Le preferenze di un consumatore sono date dalla funzione di utilità 2180x 0; 5x + x ; per x 801 2 1u(x ; x ) =1 2 3200 + x per x 802 1 dove x è la quantità del bene 1 e x è la quantità di denaro che rimane per 1 2 acquistare tutti gli altri beni.

(a) Si determini la domanda del bene 1 per p = 2 e quando il reddito del 1 consumatore è:

(a.i) m = 180 [78];

(a.ii) m = 200 [78];

(b) m = 120 [60].

(c) Si fornisca una rappresentazione grafica per il caso (a.i) e per il caso (c).

Esercizio 3 aggiuntivo

3. I prezzi dei beni sono p = 1; p = 2. Un individuo ha preferenze rap-1 2 0;2 0;8 presentabili mediante la funzione di utilità u(x ; x ) = x x . Si determini 1 2 1 2 l’equazione della curva reddito-consumo e la si rappresenti graficamente. [È la semiretta di equazione x = 2x ]2 1

Esercizio 4 aggiuntivo

4. Le preferenze di un individuo siano rappresentate dalla funzione di utilità 0;2 0;8 u = x x . Il suo reddito è m = 40 e il prezzo del bene 2 è p = 2.21 2

(a) Quali sono le scelte del consumatore per p = 1, per p = 2, per p = 4,1 1 1 per p = 8? Si rappresentino tali scelte nel grafico (inserendo le rette di bilancio 1 e, approssimativamente, le curve di indifferenza sulle quali si posiziona di volta in volta il consumatore). Si tracci la curva prezzo-consumo e se ne rappresenti l’equazione. [L’equazione della curva prezzo-consumo è x = 16.]2

Esercizio 5 aggiuntivo

5. Le preferenze di un individuo sono rappresentate dalla funzione di utilità 21 + x per x 44x 0; 5x1 2 1u(x ; x ) =1 2 8 + x per x > 42 1 dove x è la quantità di un particolare bene (il bene 1) e x è la quantità di 1 2 denaro che viene spesa per l’acquisto di tutti gli altri beni (diversi dal bene 1).1 L’individuo ha una disponibilità iniziale di denaro pari a 50. Si supponga che il bene 1 sia un bene "discreto" (la quantità acquistabile è un numero intero).

(a) Si determini il prezzo di riserva della prima unità del bene 1, della seconda unità, della terza unità e della quarta unità. [r = 3; 5; r = 2; 5; r = 1; 5;1 2 3 r = 0; 5.]4

(b) Qual è la quantità domandata del bene 1 per p = 3? [1]1

(c) Per p = 1? [3]1

(d) Per p = 0; 1? [4]1

(e) Per quale intervallo di prezzi la sua domanda sarà pari a 4? [Per l’intervallo di prezzi [0; 0; 5]].

(f) Perché non domanderà mai una quantità del bene 1 maggiore di 4? [Si ricordi che, per x 4, l’utilità del consumatore diventa u(x ; x ) = 8 + x : ciò 1 1 2 2 significa che avere a disposizione più di 4 unità del bene 1 da consumare non accresce l’utilità del consumatore. Pertanto, il consumatore non domanderà mai una quantità del bene 1 maggiore di quattro dato che che, ove così facesse, verrebbe a privarsi di una somma di denaro maggiore che se ne domandasse quattro unità soltanto e quindi rinunciare in misura maggiore al consumo degli altri beni. Tradotto tutto questo in termini formali, se nella funzione di utilità si sostituisce al posto di x il vincolo di bilancio scritto in forma esplicita, si 2 vede che la funzione diminuisce all’aumentare di x .]1

(g) Si rappresenti graficamente la curva di domanda del bene 1.[Una successione di tratti vertica