Probabilità e Informazione - Teoria, Esercizi svolti

Capitolo 1

Lo scopo della teoria della probabilità è quello di fornire modelli matematici per trattare situazioni non prevedibili con metodo deterministico (il primo autore moderno è 1650 con Fermat e Pascal, met gioco d'azzardo).

Prova e spazio dei campioni

Prova: singola esecuzione di un esperimento. Porta un risultato ω.

Spazio dei campioni (Ω): tutti i possibili risultati.

Finito

Discreto: (basato numerabile) (indicabile con interi positivi)

Continuo: (basato non numerabile) (non indicabile con interi positivi)

Esempi

E₀ lancio di una moneta: Ω = {0,1}

N monete: Ω = {0,1}^N n=(b₁, b_N) b_iє{0,1} iє1,...N

F: = l'insieme^{di:possibili cas:} (cardinalità) = 2^N

E₁ lanci di un dado: Ω = {a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆}

E₂ coppie di due dadi: Ω = {ω_{1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6'}}

E₃ arrivo di un viaggiatore in stazione nell'intervallo [0,T] Ω = [0,T]²

ω = (t_v, t_T) t_v t_T t t_v (spazio numerabile)

t_v-t_T = [T] T_v [A] (B A + B)

Eventi

Eventi = sottoinsieme di Ω

Dati eventi A, B

A ∪ B: si verifica almeno uno tra due eventi

A ∩ B: si verifica simultaneamente sia A sia B

∅ (incompatibili)

≠ ∅ (compatibili)

A̅: si verifica ogni volta che NON si verifica A cose Ā è complementare di A

A - B = A ∩ B̅ ogni volta che si verifica A ma NON B

Proprietà

• Idempotente A ∪ A = A
• A ∩ A = A
• Assorbente A ∪ Ω = Ω
• A ∩ Ω = A
• A ∪ ∅ = A
• A ∩ ∅ = ∅
• Commutatività: A ∪ B = B ∪ A
• A ∩ B = B ∩ A
• Distributività: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Leggi di De Morgan

A ∪ B = Ā ∩ B̅

A ∩ B = Ā ∪ B̅

Complementarietà

Ā̅ = A

Ω̅ = ∅

Ā ∪ A = Ω

Ā ∩ A = ∅

A ∪ Ω = Ω

Ā ∪ Ω = A

A ∩ Ω = A

Ā ∩ Ω = ∅

A ∪ ∅ = A

Ā ∪ ∅ =

Capitolo 1

Lo scopo della teoria della probabilità è quello di fornire modelli matematici per trattare situazioni non prevedibili con un modello deterministico. (I primi autori iniziano nel 1650 con Pascal e Fermat per il gioco d'azzardo).

Prova e spazio dei campioni

Prova: singola esecuzione di un esperimento. Porta a un risultato ω.

Spazio dei campioni (Ω): tutti i possibili risultati.

Finito

Discreto: limitato numerabile (indicato con interi positivi)

Continuo: infinito non numerabile (non individuabile con interi positivi)

Esempi

Esempi:

Lancio di una moneta: Ω = {0,1}

N monete: Ω = {0,1}^N

Dadi: Ω = {1,...,6}^2

Pendici due dadi: Ω = {0,6}^2

Arrivo di un viaggiatore in stazione nell'intervallo [0,T]: Ω = [0,T]

Evento

Evento: sottoinsieme di Ω

Due eventi A, B:

A ∪ B: si verifica almeno uno tra due eventi.

A ∩ B: si verifica simultaneamente sia A che B.

A = ∅ (incompatibili) A ≠ ∅ (compatibili)

A̅: si verifica ogni volta che NON si verifica A, cioè è complementare di A.

A e B sono incompatibili.

A - B = A ∩ B̅: ogni volta che si verifica A ma non B.

Proprietà

• Idempotente: A ∪ A = A; A ∩ A = A
• Associazioni: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C; A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
• Commutatività: A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A
• Distributività: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C); A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Leggi di De Morgan

A ∪ B̅ = A̅ ∩ B̅; A ∩ B̅ = A̅ ∪ B̅

(A ∪ B)̅ = A̅ ∩ B̅; (A ∩ B)̅ = A̅ ∪ B̅

Algebra di eventi

Non tutti i problemi di...sono di cambiamenti temporali...eventi. Diciamo che...

Algebra di eventi (E)

6. Si...nello...in...Aperazioni...generazione...complementazioni...di intersezione se un numero finito...

Proprietà di E:

A1) A...E Λ...Λ E

A2) A,B...E ...Λ...U Λ...E e della loro negazione

p1) ...E ...A', ∅...A U A'

p2) A,B...E ...Λ...ΛB...E (con Λ...= A' U B')

P2) A,B,...E A - B...E (con A - B = ΛB')

NB corono...di raggionamento di limite per...6

6J - Algebra di eventi

seguirvice di non vuoto...relative alle operazioni...complemento της...di intersezione di un numero finito e un ilimitato numerabile...di eventi ∞

Proprietà:

A2, b) A...E...n = 1, 2...=> U_n A_n ...E (anche il limite di una successione