Domande Finanza aziendale

La stima del rischio di un portafoglio di 2 titoli

Formulazione e valore in funzione dell'indice di correlazione

La misura del rischio di un portafoglio dipende dalla rischiosità dei singoli asset che lo compongono, dal peso assegnato a ogni investimento e dalla relazione tra la performance del portafoglio e quella delle singole attività. Nel caso particolare di un portafoglio di 2 titoli, il peso assegnato a ogni investimento (percentuale x la cui sommatoria deve dare sempre 1) è tale per cui x =1-x. Per cui, il rendimento di questo portafoglio sarà: E(R₂)=x *E(R₁)+(1-x )*E(R₂); mentre il rischio, misurato dalla varianza, sarà:

σ²(R₂)=x² *σ²(R₁)+(1-x )² *σ²(R₂)+2(x *(1-x ))*ρ *σ(R₁)*σ(R₂).

Il valore del rischio varierà in funzione dell’indice di correlazione (che misura la relazione tra il rischio del portafoglio e quello della singola azione).

Se ρ = 1, allora:

σ²(R₂)=x² *σ²(R₁)+(1-x )² *σ²(R₂)+2(x *(1-x ))*ρ *σ(R₁)*σ(R₂) = (x *σ(R₁)+(1-x )*σ(R₂))².

Da cui, σ = x *σ(R₁)+(1-x )*σ(R₂). Per minimizzare il rischio, occorrerà che uno dei pesi sia uguale a 1 e l’altro uguale a 0, o viceversa, dipendentemente da quale dei due titoli è meno rischioso.

Se ρ = 0, allora:

σ²(R₂)=x² *σ²(R₁)+(1-x )² *σ²(R₂).

Da cui, σ(R₂)=√(x² *σ²(R₁)+(1-x )² *σ²(R₂)). In questo caso, per minimizzare il rischio, le x dovranno avere lo stesso peso ed essere quindi uguali a 1/2.

Se ρ = -1, allora:

σ²(R₂)=x² *σ²(R₁)+(1-x )² *σ²(R₂)-2(x *(1-x ))*ρ *σ(R₁)*σ(R₂) = (x *σ(R₁)-(1-x )*σ(R₂))².

Di conseguenza, σ = x *σ(R₁)-(1-x )*σ(R₂). Questo è lo scenario migliore in cui il rischio è già minimizzato, in quanto le singole azioni risultano correlate negativamente. X sarà data da:

x *σ(R₁)-σ(R₂)+x *σ(R₂)=0, x = σ(R₂)/ (σ(R₁)+σ(R₂)).

Il modello di Markowitz per la valutazione del rischio e del rendimento di un portafoglio di azioni

Dal momento che nella maggior parte dei casi gli investitori non investono tutte le proprie risorse in un unico progetto, il modello di Markowitz si propone di analizzare tutte le opportunità di investimento a disposizione in modo da elaborare i principi fondamentali per la costruzione di un portafoglio di titoli, nell’ipotesi in cui l’investitore sia avverso al rischio. Il processo per la selezione del portafoglio migliore prevede che:

• Si identifichino tutti i set di investimenti disponibili.
• Si costruiscano i profili di rischio e rendimento relativi ad ogni investimento, attraverso le formule: E(R) = Σx *E(R); σ²(R) = Σx² *σ²(R) + ΣΣx *x *ρ *σ(R)*σ(R). In base ai risultati, si disporranno gli investimenti sugli assi cartesiani e si individueranno: i portafogli dominanti, con alto rendimento e basso rischio; i portafogli con alto rendimento e alto rischio; quelli con basso rendimento e basso rischio; e i portafogli dominati, con basso rendimento ma alto rischio.
• Si trovino i portafogli dominanti sulla frontiera efficiente, cioè quella curva dove il rendimento viene massimizzato per un dato livello di rischio o il rischio viene minimizzato per un dato livello di rendimento. La posizione di questa frontiera dipenderà dal numero di asset inclusi nel portafoglio e tenderà a spostarsi verso l’alto a sinistra nel caso il numero fosse elevato. Il numero minimo di titoli per formarla dipenderà invece dal volume delle transazioni (quindi dal numero di scambi al giorno) e dai costi di transazione.
• Si scelga il portafoglio ottimale su questa frontiera efficiente, rispettando le ipotesi di: aspettative omogenee sul mercato, orizzonte temporale uniperiodale, avversione al rischio, assenza di costi di transazione, perfetta frazionabilità dell’investimento.

Il limite del modello risiede nel fatto che non può essere effettuato un pricing dei titoli per la negoziazione sul mercato, in quanto il contesto di riferimento è soggettivo e dipende dalla propensione al rischio dei singoli investitori.

Capital market line: definizione, formulazione, limiti

La CML rappresenta quella retta che interseca l’asse verticale (E/σ) nel titolo risk free e che sia tangente alla frontiera efficiente, in quanto il portafoglio che si andrà ad individuare grazie a questa curva deve essere un titolo dominante. Attraverso il CAPM, quindi, Sharpe introduce l’ipotesi che ogni investimento debba necessariamente prevedere al suo interno un titolo privo di rischio. Di conseguenza, l’equazione della CML è:

E(R_p) = (E(R_m) - r_f)/σ(R_m) * σ(R_p) + r_f,

dove r_f è l’attività priva di rischio e quindi l’intercetta della retta e (E(R_m) - r_f)/σ(R_m) rappresenta l’inclinazione della retta e il premio di rischio assunto dall’investitore. La CML è funzionale alla scelta della combinazione dei pesi da attribuire rispettivamente al titolo risk free e a quello di mercato e ha il vantaggio di essere indipendente dalla propensione al rischio dell’individuo e quindi (a differenza del modello di Markowitz) è possibile stabilire una regola di pricing.

I limiti invece sono di natura realistica:

• Non è realistico che il tasso di indebitamento utilizzato sia risk free, ma anzi è superiore, quindi bisognerà trovare una nuova CML che intersechi un r > r_f e tangente alla frontiera in un portafoglio dominante diverso. La nuova CML sarà: E(R_p) = (E(R_m) - r_f)/σ(R_m) * σ(R_p) + r quando σ(R_p) < σ(R_d) e E(R_p) = (E(R_m) - r_f)/σ(R_m) * σ(R_d) + r quando σ(R_d) > σ(R_p).
• È motivo di errore utilizzare un tasso risk free come benchmark di mercato quando viene in realtà utilizzato da un solo paese. La soluzione è utilizzare titoli negativamente correlati tra loro, così da costruire un portafoglio indipendente dall’andamento del mercato. Infatti, se ρ = -1, allora cov = 0 e di conseguenza β = 0. La CML costruita non intersecherà l’asse E perché il nuovo tasso non sarà risk free e sarà data dalla formula: E(R_p) = (E(R_m) - r_zero-beta)/(σ(R_m) - σ(R_ZB) * σ(R_p) + r_ZB.

Il modello APT: formulazione, caratteristiche delle variabili esplicative, ambiti di applicazione e limiti

L’ipotesi del CAPM per cui esiste un solo fattore di rischio legato al mercato risulta irrealistica. Motivo per cui il modello empirico APT (arbitrage pricing theory) vuole cercare di spiegare la performance di un titolo in base a un più ampio set di possibili fattori esplicativi di rischio, indagando quali portafogli siano efficienti a partire dall’ipotesi che i rendimenti dei titoli siano spiegabili attraverso un modello multifattoriale. Secondo tale modello, i rendimenti attesi aumentano linearmente con la sensibilità di un’attività a un determinato numero di fattori macroeconomici: R_i = E(R_i) + Σβ_k * F_k + ε_i (dove F sono i fattori ritenuti esplicativi della performance di un titolo).

Questi fattori di rischio possono fare riferimento a:

• Il mercato
• Fattori macroeconomici se questi hanno un impatto sul rendimento dell’investimento (es. inflazione, tassi di interesse)
• Caratteristiche specifiche di rilievo del singolo titolo, che possono dare luogo a fenomeni di arbitraggio.

Tuttavia, il principale limite dell’APT sta nel fatto che esso non dice quali siano i fattori rilevanti. Per ovviare a questo limite, sono state presentate delle soluzioni diverse da:

• Fama e French, che consideravano come F_k la dimensione dell’impresa (quindi il suo market value = HML) e le prospettive di crescita dell’impresa (=SMB). Da cui, R_i - r_f = E(R_i) + β_i *(R_m - r_f) + γ_i * HML + δ_i * SMB + ε_i.
• Carhart, che agli F_k considerati rilevanti da Fama & French aggiunse anche il fattore “momentum” (MOM), ovvero il modo in cui le performance passate del titolo influenzano le aspettative future degli investitori sullo stesso. Da cui, R_i - r_f = E(R_i) + β _i *(R_m - r_f) + γ_i * HML + δ_i * SMB + η_i * MOM + ε_i.

Il WACC: definizione, formulazione e profili rilevanti nella costruzione della formula

Dal momento che la remunerazione di un titolo non è legata solo al profilo di rischio della singola operazione, ma anche al livello di rischio dell’impresa, è necessario il calcolo del costo medio del capitale, cioè il rendimento atteso del portafoglio composto da tutti i titoli emessi da un’impresa. Si calcola attraverso la media ponderata del costo del debito (al netto delle imposte = scudo fiscale) e del costo dell’equity:

Dove: V = D+E

Nell’analisi devo considerare il tasso i (TIR) che si utilizza nel VAN e verificare se è uguale al WACC:

• Se i = WACC, è indifferente realizzare il progetto ma si potrebbe procedere perché le risorse verrebbero impiegate e l’attivo è comunque rilevante;
• Se i < WACC, il progetto non crea valore;
• Se i > WACC, il progetto è virtuoso e conviene partire con l’investimento in quanto crea valore.

I profili rilevanti nella costruzione della formula del WACC sono:

• La definizione dei pesi, rappresentati dal rapporto di indebitamento e dall’incidenza del capitale proprio sul capitale totale. La stima dei pesi può essere effettuata considerando dati di natura contabile (valori storici reperibili dall’ultimo bilancio) oppure dati di mercato (valori prospettici, approssimazione del valore di mercato delle forme di finanziamento). Utilizzando dati contabili, si assumerebbe l’ipotesi che l’azienda non cambi la propria struttura finanziaria nel tempo: infatti i dati di riferimento sono di natura storica e potrebbero portare ad errori di stima dovuti al fatto che potrebbero esserci delle anomalie tra la struttura finanziaria risalente all’ultimo bilancio e quelle future. Bisogna inoltre considerare la modalità di imputazione a bilancio delle passività: (1) il peso dell’equity potrebbe variare e, ragionando con una logica di imputazione a bilancio residuale, ogni volta che cambia l’attivo deve essere modificato di conseguenza anche il passivo del bilancio, con la possibilità che aumentano gli errori di stima; (2) il debito può essere scritto con valori contabili solo se le condizioni di mercato restano invariate, per non rischiare di perdere informazioni relative ai prezzi di mercato. È utile considerare infine il problema dell’erogazione delle obbligazioni: (a) quando è il mercato attraverso dati prospettici a occuparsene la valutazione è basata sui benchmark di mercato e sul rischio di fallimento dell’impresa; (b) quando sono gli intermediari, non hanno informazioni sui benchmark di mercato e c’è la possibilità che si incorra in disallineamenti tra i tassi correnti al momento della stipula del contratto e la media di mercato.
• Il costo dell’equity: le scelte da realizzare sono relative all’utilizzo: una logica (a) domestica, se l’azienda raccoglie capitali nel suo mercato, considerando dati il più puntuali possibili, o (b) internazionale, se viceversa l’impresa raccoglie le risorse finanziarie necessarie in 1 o più mercati diversi da quello nazionale. Approccio (a) specifico dell’impresa, basato sull’evidenza storica delle variazioni del prezzo per ogni punto percentuale delle variazioni nell’indice di mercato (utilizzabile quando l’impresa non cambia il proprio livello di rischio in seguito alla realizzazione del progetto); (b) di settore (utile quando il progetto è nuovo o diverso da quelli precedentemente realizzati): si usano dati medi del settore di appartenenza del progetto in questione.
• Il costo del debito può essere misurato prendendo i dati contrattuali o attraverso una previsione sul costo del debito attraverso la formula della SML. Tuttavia, r_d dipende dalla struttura per scadenza del debito, perciò una scadenza nel medio lungo termine determinerà condizioni di finanziamento bloccate e quindi sarà più comodo utilizzare dati di contratto; mentre una scadenza a breve termine implicherà probabilmente delle diverse condizioni di rinnovo del debito alla scadenza che bisognerà stimare attraverso la SML: r_d = r_f + β_d *(R_m - R_F), dove β_d dipende dalla leva di finanziamento (tanto più ci si indebita, tanto più cresce beta e il rischio sistematico del titolo).

Forme di finanziamento: finanziamenti a titolo di capitale proprio

La differenza tra investimenti e fondi generati costituisce il fabbisogno finanziario dell’impresa. Per reperire questi fondi, le politiche di finanziamento a cui l’impresa può fare capo sono l’autofinanziamento o l’emissione di titoli. Quest’ultimo caso prevede che l’approvvigionamento delle risorse avvenga attraverso una relazione diretta con il mercato e i titoli emessi possono essere di capitale proprio o capitale di debito. Quando un’impresa emette titoli di capitale proprio deve considerare anche gli effetti che questi avranno sul suo controllo e sulla governance. Infatti, i titoli possono essere:

(a) Investment segment, che danno a...