Un razzo lanciato verso la luna.... (forza di attrazione gravitazionale)

_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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Scopri come calcolare la posizione di un razzo tra la Terra e la Luna, analizzando le forze di attrazione gravitazionale. Approfondisci i concetti di meccanica e applica le formule per determinare le distanze dal razzo ai due corpi celesti.

Concetti Chiave

  • Il razzo si ferma nel punto in cui le forze gravitazionali della Terra e della Luna sono uguali e opposte.
  • Le masse della Terra e della Luna sono rispettivamente 5,98 x 10^24 kg e 0,07 x 10^24 kg.
  • La distanza tra la Terra e la Luna è di 3,84 x 10^8 metri.
  • Il rapporto tra le distanze del razzo dalla Terra e dalla Luna è 9,24.
  • Il razzo si trova a 3,47 x 10^8 metri dalla Terra e a 0,375 x 10^8 metri dalla Luna.
Un razzo lanciato verso la luna si arresta nel punto in cui la forza di attrazione gravitazionale dovuta alla Terra e quella dovuta alla Luna hanno lo stesso modulo e la stessa direzione, ma verso opposti.
  • In quale punto del segmento che unisce il centro della terra e il centro della Luna si trova il razzo?

Prima di tutto, riportiamo alcuni valori che potrebbero esserci utili nello svolgimento:

[math]M_T = 5,98 \cdot 10^24 kg[/math]

[math]M_L = 0,07 \cdot 10^24 kg[/math]

[math]d_(T,L) = 3,84 \cdot 10^8 m[/math]

Il razzo subisce due forze attrattive, quella della Luna e quella della Terra:

[math]F_T = G \cdot frac(M_T \cdot m_g)(d_T ^2) , F_L = G \cdot frac(M_L \cdot m_g)(d_L ^2)[/math]

Sapendo che la forza di attrazione gravitazionale dovuta alla Terra e quella dovuta alla Luna hanno lo stesso modulo, possiamo eguagliare le due formule:

[math]F_T = F_L[/math]

Abbiamo quindi:

[math] G \cdot frac(M_T \cdot m_g)(d_T ^2) = G \cdot frac(M_L \cdot m_g)(d_L ^2)[/math]

Possiamo semplificare la costante di gravitazione universale e la massa del razzo:

[math] frac(M_T )(d_T ^2) = frac(M_L)(d_L ^2)[/math]

Conoscendo le due masse, possiamo trovare il rapporto fra le distanze del razzo dalla Terra e dalla Luna:

[math] frac(d_T ^2)(d_L ^2) = frac(M_T)(M_L)[/math]

Si ricava:

[math] frac(d_T)(d_L) = \sqrt{frac(M_T)(M_L)} = \sqrt(frac (5,98 \cdot 10^24 kg)(0,07 \cdot 10^24 kg)) = 9,24 [/math]

Conoscendo la distanza Terra-Luna, possiamo impostare un sistema:

( \begin{cases} frac{d_T}{d_L} = 9,24 \ d_T + d_L = 3,84 cdot 10^8 m end{cases} )

Ricaviamo dalla prima equazione la distanza dalla Terra, poi sostituiamola alla seconda equazione:

( \begin{cases} d_T =d_L cdot 9,24 \ 9,24 d_L + d_L = 3,84 cdot 10^8 m end{cases} )

( \begin{cases} d_T =d_L cdot 9,24 \ 10,24 d_L = 3,84 cdot 10^8 m end{cases} )

( \begin{cases} d_T =d_L cdot 9,24 \ d_L = frac{3,84 cdot 10^8 m}{10,24} = 0,375 cdot 10^8 m end{cases} )

Possiamo ora ricavare anche l'altra distanza:

( \begin{cases} d_T = 0,375 cdot 10^8 cdot 9,24 = 3,47 cdot 10^8 m \ d_L = 0,375 cdot 10^8 m end{cases} )

Il razzo, quindi, si trova a

[math]3,47 \cdot 10^8 m[/math]
dalla Terra e a
[math]0,375 \cdot 10^8 m[/math]
dalla Luna.
Studia con la mappa concettuale

Domande da interrogazione

  1. Dove si arresta un razzo lanciato verso la Luna?

    2. Il razzo si arresta nel punto in cui la forza di attrazione gravitazionale della Terra e quella della Luna sono uguali e opposte, lungo il segmento che unisce i loro centri.

  2. Qual è il rapporto tra le distanze del razzo dalla Terra e dalla Luna?

    3. Il rapporto tra le distanze del razzo dalla Terra e dalla Luna è di 9,24, il che significa che il razzo è molto più vicino alla Terra rispetto alla Luna.

  3. Quali sono le distanze esatte del razzo dalla Terra e dalla Luna?

    4. Il razzo si trova a 3,47 × 10^8 m dalla Terra e a 0,375 × 10^8 m dalla Luna.

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